Нахождение оригинала функции, заданной в форме преобразования Лапласа

Дифференциальные уравнения: Нахождение оригинала функции по преобразованию Лапласа

Это задание относится к разделу "Дифференциальные уравнения" в математике, в частности к нахождению оригинала функции, заданной в форме преобразования Лапласа. Здесь у нас есть функция \( \frac{4}{p+1} \) и нам нужно найти её оригинал (обратное преобразование Лапласа).

Преобразование Лапласа \( \mathcal{L} \) для функции \( f(t) \) обозначается как \( F(p) \), где \( p \) является переменной преобразования. Известно, что преобразование Лапласа функции \( e^{at} \) равно \( \frac{1}{p-a} \).

В нашем случае \( \frac{4}{p+1} \) может быть рассмотрена как \( 4 \times \frac{1}{p-(-1)} \). Это можно представить в виде: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(p) = \frac{4}{p - (-1)} \]

Сравнивая с стандартной формулой \( \frac{1}{p - a} \) для \( e^{at} \), видим, что \( a = -1 \). Соответственно, оригинал функции будет: \[ 4 e^{-t} \]

Таким образом, обратное преобразование Лапласа для функции \( \frac{4}{p+1} \) равно \( 4e^{-t} \).

Подробно разложим шаги:

1. Узнаем, что использовать стандартные таблицы преобразования Лапласа.
2. Видим, что выражение имеет вид, напоминающий \( \frac{1}{p-a} \).
3. Определяем \( a = -1 \) из нашего выражения \( \frac{4}{p+1} = 4 \times \frac{1}{p-(-1)} \).
4. Используем соответствующий оригинал \( e^{at} \) для \( a = -1 \) и масштабируем его на коэффициент 4.
5. Получаем окончательный результат \( 4e^{-t} \).

Таким образом, наш результат: \( 4e^{-t} \).