Нахождение изображения функции с помощью преобразования Лапласа

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление, преобразование Лапласа

Задача состоит в нахождении изображения функции ( f(t) ) с помощью преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа функции ( f(t) ) определяется как:

 F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt 

Функция задана как:  f(t) = \sin(5t) + 4te^t - 2e^{3t} - 3t^2 + 1 

Решение:

1. Преобразование Лапласа для каждого слагаемого:

   • Для ( \sin(5t) ):  \mathcal{L}\{\sin(5t)\} = \frac{5}{s^2 + 25} 

   • Для ( 4te^t ): Применяется формула для преобразования ( t e^{at} ):  \mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s-a)^2}  Тогда:  \mathcal{L}\{4te^t\} = \frac{4}{(s-1)^2} 

   • Для ( -2e^{3t} ): Применяется формула для ( e^{at} ):  \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}  Тогда:  \mathcal{L}\{-2e^{3t}\} = -\frac{2}{s-3} 

   • Для ( -3t^2 ): Применяется формула для ( t^n ):  \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}  Тогда:  \mathcal{L}\{-3t^2\} = -\frac{3 \cdot 2}{s^3} = -\frac{6}{s^3} 

   • Для ( 1 ): Применяется формула для постоянной:  \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s} 

2. Суммирование всех слагаемых:

   Теперь складываем все преобразования:  F(s) = \frac{5}{s^2 + 25} + \frac{4}{(s-1)^2} - \frac{2}{s-3} - \frac{6}{s^3} + \frac{1}{s} 

Ответ:

Изображение функции ( f(t) ) в области Лапласа:  F(s) = \frac{5}{s^2 + 25} + \frac{4}{(s-1)^2} - \frac{2}{s-3} - \frac{6}{s^3} + \frac{1}{s}