Исследовать функцию на экстремум: F(y)

Предмет: Математика
Раздел: Вариационное исчисление

Задание:
Исследовать функцию на экстремум:
F(y) = \int_{0}^{\pi} \left( y'^2 + 4y \cos x - y^2 \right) dx
при граничных условиях:
y(0) = 0, y(\pi) = 0

Шаг 1: Формулировка задачи вариационного исчисления

Функционал задан в виде: F(y) = \int_{0}^{\pi} L(x, y, y') dx,
где подынтегральная функция: L(x, y, y') = y'^2 + 4y \cos x - y^2

Шаг 2: Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид:

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 0

Вычислим производные:

• \frac{\partial L}{\partial y} = 4 \cos x - 2y
• \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y'
• \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 2y''

Подставим в уравнение Эйлера — Лагранжа:

4 \cos x - 2y - 2y'' = 0

или, упростив:

y'' - y = 2 \cos x

Шаг 3: Решение неоднородного дифференциального уравнения

Общее решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

1. Однородное уравнение:

y'' - y = 0

Решение: y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}

2. Частное решение неоднородного уравнения:

y'' - y = 2 \cos x

Предположим частное решение в виде: y_p(x) = A \cos x + B \sin x

Подставим в уравнение:

-A \cos x - B \sin x - (A \cos x + B \sin x) = 2 \cos x
-2A \cos x - 2B \sin x = 2 \cos x

Сравнивая коэффициенты:

• -2A = 2 \Rightarrow A = -1
• -2B = 0 \Rightarrow B = 0

Значит, частное решение: y_p(x) = -\cos x

Шаг 4: Общее решение

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \cos x

Шаг 5: Применение граничных условий

1. y(0) = C_1 + C_2 - 1 = 0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1
2. y(\pi) = C_1 e^{\pi} + C_2 e^{-\pi} + \cos \pi = 0
   C_1 e^{\pi} + C_2 e^{-\pi} = 1

Решим систему:

1. C_1 + C_2 = 1
2. C_1 e^{\pi} + (1 - C_1) e^{-\pi} = 1

Подставим во второе уравнение:

C_1 e^{\pi} + e^{-\pi} - C_1 e^{-\pi} = 1
C_1 (e^{\pi} - e^{-\pi}) = 1 - e^{-\pi}
C_1 = \frac{1 - e^{-\pi}}{e^{\pi} - e^{-\pi}}

Аналогично: C_2 = 1 - C_1 = \frac{e^{\pi} - 1}{e^{\pi} - e^{-\pi}}

Ответ:

Экстремаль (функция, при которой достигается экстремум функционала):

y(x) = \frac{1 - e^{-\pi}}{e^{\pi} - e^{-\pi}} e^x + \frac{e^{\pi} - 1}{e^{\pi} - e^{-\pi}} e^{-x} - \cos x

Это решение задачи вариационного исчисления с граничными условиями.