Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями. Сделать схематический чертёж

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ (Кратные интегралы)

Дано уравнение системы поверхностей:
x^2 + y - 2 = 0
3y - 2z = 0
z = 0

1. Построение схематического чертежа

Рассмотрим каждое уравнение:

• x^2 + y - 2 = 0 — это параболоид, открытый вниз.
• 3y - 2z = 0 или z = \frac{3}{2}y — это плоскость.
• z = 0 — это плоскость OXY.

Пересечение этих поверхностей образует ограниченную область, объем которой мы найдем.

2. Вычисление объема

Объем тела выражается через двойной интеграл:
V = \int\int_{D} z(x, y) \,dx\,dy,
где z(x, y) — верхняя граница тела, а D — область проекции на плоскость OXY.

Из уравнения 3y - 2z = 0 получаем z = \frac{3}{2}y.
Область D ограничена параболой y = 2 - x^2 (из первого уравнения).

Следовательно, объем вычисляется по интегралу:
V = \int\limits_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int\limits_{y=0}^{2-x^2} \frac{3}{2} y \, dy \, dx.

Вычислим внутренний интеграл:
\int\limits_{0}^{2-x^2} \frac{3}{2} y \, dy = \frac{3}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^{2-x^2} = \frac{3}{4} (2-x^2)^2.

Теперь вычислим внешний интеграл:
V = \int\limits_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{4} (4 - 4x^2 + x^4) \, dx.

Разделим интеграл на три части:
V = \frac{3}{4} \left[ \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx - 4 \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx + \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx \right].

Рассчитаем каждый интеграл:

1. \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx = 4(2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}.
2. \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx: так как x^2 четная функция,
   \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = 2 \int\limits_{0}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}.
3. \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx: аналогично,
   \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx = 2 \int\limits_{0}^{\sqrt{2}} x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_0^{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{(\sqrt{2})^5}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5}.

Подставляем в выражение для V:
V = \frac{3}{4} \left[ 8\sqrt{2} - 4 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{5} \right].

Упростим:
V = \frac{3}{4} \left[ 8\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{5} \right].

Приведем к общему знаменателю (15):
8\sqrt{2} = \frac{120\sqrt{2}}{15}, \quad \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{80\sqrt{2}}{15}, \quad \frac{8\sqrt{2}}{5} = \frac{24\sqrt{2}}{15}.

Тогда:
V = \frac{3}{4} \times \frac{120\sqrt{2} - 80\sqrt{2} + 24\sqrt{2}}{15} = \frac{3}{4} \times \frac{64\sqrt{2}}{15} = \frac{192\sqrt{2}}{60} = \frac{32\sqrt{2}}{10} = \frac{16\sqrt{2}}{5}.

Ответ:

V = \frac{16\sqrt{2}}{5}.