Вычислить массу тела, ограниченного линиями: z=0, y=0, x=0, x+y+z=1

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ, вычисление массы тела с использованием тройного интеграла

Дано тело, ограниченное плоскостями:
z=0, y=0, x=0, x + y + z = 1.

Нужно вычислить массу тела, ограниченного этими плоскостями.

Шаг 1. Определение области интегрирования

Тело находится в первом октанте (где x, y, z \geq 0) и ограничено плоскостью x + y + z = 1.

Область интегрирования D в пространстве (x,y,z) задается неравенствами:

 \begin{cases} x \geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0, \ x + y + z \leq 1. \end{cases} 

Шаг 2. Плотность тела

В условии не указана плотность тела, значит, предположим, что плотность однородная и равна 1. Тогда масса тела равна объему тела.

Шаг 3. Запись тройного интеграла для массы (объема)

Масса тела:

 M = \iiint_D \rho(x,y,z) \, dV, 

где \rho(x,y,z) = 1.

Объем тела:

 V = \iiint_D dV. 

Шаг 4. Пределы интегрирования

Выразим пределы интегрирования:

• x от 0 до 1 (так как x \geq 0 и x + y + z \leq 1).
• Для фиксированного x, y от 0 до 1 - x.
• Для фиксированных x, y, z от 0 до 1 - x - y.

Шаг 5. Интегрирование

Запишем интеграл:

 V = \int_0^1 \int_0^{1 - x} \int_0^{1 - x - y} dz \, dy \, dx. 

Внутренний интеграл по z:

 \int_0^{1 - x - y} dz = 1 - x - y. 

Тогда:

 V = \int_0^1 \int_0^{1 - x} (1 - x - y) \, dy \, dx. 

Вычислим интеграл по y:

 \int_0^{1 - x} (1 - x - y) dy = \left[ (1 - x) y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{1 - x} = (1 - x)(1 - x) - \frac{(1 - x)^2}{2} = (1 - x)^2 - \frac{(1 - x)^2}{2} = \frac{(1 - x)^2}{2}. 

Остался интеграл по x:

 V = \int_0^1 \frac{(1 - x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - x)^2 dx. 

Вычислим интеграл:

 \int_0^1 (1 - x)^2 dx = \int_0^1 (1 - 2x + x^2) dx = \left[ x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. 

Следовательно,

 V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. 

Ответ:

Масса тела (объем тела при плотности 1) равна \frac{1}{6}.