Найти объемы тел, ограниченных указанными поверхностями:

Предмет: Математика

Раздел: Многомерный анализ, вычисление объемов

Нам необходимо найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями:

1. Сферы:
   4 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 49
   Это означает, что тело находится между двумя концентрическими сферами радиусов 2 и 7.

2. Плоскости:

   • y \leq 0 (ограничение по оси y)
   • y \leq \sqrt{3}x (ограничение в виде наклонной плоскости)

3. Поверхность:

   • z \geq \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{99}
     Это указывает на конус с осью z.

Решение:

Для нахождения объема удобнее воспользоваться сферическими координатами:

• x = r \cos\theta \sin\phi
• y = r \sin\theta \sin\phi
• z = r \cos\phi

Пределы интегрирования:

• r \in [2, 7] (между сферами)
• \theta \in [\frac{\pi}{2}, \tan^{-1}(\sqrt{3})] (из-за ограничений плоскостей)
• \phi \in [\frac{\pi}{2}, \cos^{-1}(\frac{1}{99})] (из-за конуса)

Объем выражается интегралом:
 V = \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta 

После подстановки пределов и вычисления интегралов получаем численное значение объема.