Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями с графиком

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ, вычисление объемов тел

Необходимо найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями:
x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, x + y = 2, z = x^2 + \frac{1}{2}y^2.

Для нахождения объема тела используем тройной интеграл:
V = \iiint\limits_{D} 1 \, dx \, dy \, dz,
где D — область, задаваемая ограничивающими поверхностями.

1. Определим область интегрирования

• По условиям:
  • x изменяется от 0 до 1 (из ограничений x = 0 и x = 1).
  • y изменяется от 0 до 2 - x (из ограничения x + y = 2).
  • z изменяется от 0 до x^2 + \frac{1}{2}y^2 (из ограничения z = 0 и z = x^2 + \frac{1}{2}y^2).

2. Выражение для объема

Объем тела задается тройным интегралом:
V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} \int\limits_{z=0}^{x^2 + \frac{1}{2}y^2} 1 \, dz \, dy \, dx.

3. Вычисление интеграла

1. Вычислим внутренний интеграл по z:
   \int\limits_{z=0}^{x^2 + \frac{1}{2}y^2} 1 \, dz = \left[z\right]_{z=0}^{x^2 + \frac{1}{2}y^2} = x^2 + \frac{1}{2}y^2.

2. Подставим результат во второй интеграл:
   V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} \left(x^2 + \frac{1}{2}y^2\right) \, dy \, dx.

3. Разделим интеграл на два слагаемых:
   V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} x^2 \, dy \, dx + \frac{1}{2} \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} y^2 \, dy \, dx.

Первый интеграл:

\int\limits_{y=0}^{2-x} x^2 \, dy = x^2 \int\limits_{y=0}^{2-x} 1 \, dy = x^2 \cdot \left[(y)\right]_{y=0}^{2-x} = x^2 \cdot (2-x).

Подставим в общий интеграл:
\int\limits_{x=0}^{1} x^2 (2-x) \, dx = \int\limits_{x=0}^{1} (2x^2 - x^3) \, dx.

Вычислим:
\int\limits_{x=0}^{1} 2x^2 \, dx = \left[\frac{2x^3}{3}\right]_{x=0}^{1} = \frac{2}{3},
\int\limits_{x=0}^{1} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^{1} = \frac{1}{4}.

Итак:
\int\limits_{x=0}^{1} x^2 (2-x) \, dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}.

Второй интеграл:

\int\limits_{y=0}^{2-x} y^2 \, dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{2-x} = \frac{(2-x)^3}{3}.

Подставим во внешний интеграл:
\frac{1}{2} \int\limits_{x=0}^{1} \frac{(2-x)^3}{3} \, dx = \frac{1}{6} \int\limits_{x=0}^{1} (2-x)^3 \, dx.

Разложим (2-x)^3:
(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3.

Интеграл:
\frac{1}{6} \int\limits_{x=0}^{1} (8 - 12x + 6x^2 - x^3) \, dx = \frac{1}{6} \left[\int\limits_{x=0}^{1} 8 \, dx - \int\limits_{x=0}^{1} 12x \, dx + \int\limits_{x=0}^{1} 6x^2 \, dx - \int\limits_{x=0}^{1} x^3 \, dx\right].

Вычислим:
\int\limits_{x=0}^{1} 8 \, dx = 8,
\int\limits_{x=0}^{1} 12x \, dx = \left[6x^2\right]_{x=0}^{1} = 6,
\int\limits_{x=0}^{1} 6x^2 \, dx = \left[2x^3\right]_{x=0}^{1} = 2,
\int\limits_{x=0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}.

Подставим:
\frac{1}{6} \left(8 - 6 + 2 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \left(\frac{32}{4} - \frac{24}{4} + \frac{8}{4} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}.

4. Итоговый объем

Сложим результаты:
V = \frac{5}{12} + \frac{5}{8} = \frac{10}{24} + \frac{15}{24} = \frac{25}{24}.

Объем тела:
V = \frac{25}{24}.