Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Многомерный интеграл (вычисление объема тела)

Нам задано тело, ограниченное следующими поверхностями:

• [x = 0], [y = 0], [z = 0], [x = 1], [x + y = 2], [z = x^2 + \frac{1}{2}y^2].

Необходимо найти объем этого тела. Для этого используем тройной интеграл.

Объем тела вычисляется как:

V = \iiint\limits_{D} 1 \, dx\,dy\,dz,

где [D] — область, ограниченная заданными поверхностями.

Шаг 1: Построение области интегрирования

Границы для [x] и [y]:

• [x] изменяется от [0] до [1] (по условию [x = 0] и [x = 1]).
• [y] изменяется от [0] до [2 - x] (по условию [x + y = 2]).

Границы для [z]:

• [z] изменяется от [0] до [x^2 + \frac{1}{2}y^2].

Шаг 2: Постановка тройного интеграла

Объем тела можно выразить следующим образом:

V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} \int\limits_{z=0}^{x^2 + \frac{1}{2}y^2} 1 \, dz\,dy\,dx.

Шаг 3: Вычисление интеграла

Интегрирование по [z]:

\int\limits_{z=0}^{x^2 + \frac{1}{2}y^2} 1 \, dz = \left[z\right]_{z=0}^{z=x^2 + \frac{1}{2}y^2} = x^2 + \frac{1}{2}y^2.

Теперь интеграл становится:

V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} \left(x^2 + \frac{1}{2}y^2\right) \, dy\,dx.

Интегрирование по [y]:

Разделим интеграл на две части:

V = \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} x^2 \, dy\,dx + \frac{1}{2} \int\limits_{x=0}^{1} \int\limits_{y=0}^{2-x} y^2 \, dy\,dx.

1. Первая часть:

\int\limits_{y=0}^{2-x} x^2 \, dy = x^2 \int\limits_{y=0}^{2-x} 1 \, dy = x^2 \left[y\right]_{y=0}^{y=2-x} = x^2 (2-x).

2. Вторая часть:

\int\limits_{y=0}^{2-x} y^2 \, dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{y=2-x} = \frac{(2-x)^3}{3}.

Теперь объем запишем как:

V = \int\limits_{x=0}^{1} \left[x^2 (2-x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{(2-x)^3}{3}\right] \, dx.

Интегрирование по [x]:

Раскроем скобки и вычислим:

1. Первая часть:

\int\limits_{x=0}^{1} x^2 (2-x) \, dx = \int\limits_{x=0}^{1} (2x^2 - x^3) \, dx = \left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^{x=1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}.

2. Вторая часть:

\int\limits_{x=0}^{1} \frac{(2-x)^3}{6} \, dx = \frac{1}{6} \int\limits_{x=0}^{1} (8 - 12x + 6x^2 - x^3) \, dx = \frac{1}{6} \left[8x - 6x^2 + 2x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^{x=1} = \frac{1}{6} \left(8 - 6 + 2 - \frac{1}{4}\right) = \frac{37}{24}.

Шаг 4: Суммирование

Сложим две части:

V = \frac{5}{12} + \frac{37}{24} = \frac{10}{24} + \frac{37}{24} = \frac{47}{24}.

Ответ:

Объем тела равен:

V = \frac{47}{24}.