Составьте план перевозок однородного груза от пунктов производства к пунктам потребления с минимальными суммарными транспортными расходами

Предмет: Математика
Раздел: Математическое программирование — Транспортная задача

Условие задачи

Имеется транспортная таблица, в которой указаны:

• Источники (поставщики): 3 строки (предприятия), с запасами 12, 5 и 18 единиц.
• Пункты потребления (потребители): 4 столбца, с потребностями 10, 11, 8 и 6 единиц.
• Внутри таблицы — стоимости перевозок единицы груза от каждого источника к каждому потребителю.

Шаг 1: Проверим, сбалансирована ли задача

Сумма запасов: 12 + 5 + 18 = 35

Сумма потребностей: 10 + 11 + 8 + 6 = 35

Так как суммарные запасы равны суммарным потребностям, задача сбалансирована.

Шаг 2: Построим план перевозок методом наименьшей стоимости

Будем выбирать ячейки с наименьшими затратами и распределять максимально возможное количество груза.

Матрица стоимости:

Шаг 3: Заполнение таблицы

1. Минимальная стоимость — 1 (ячейка [3,1]).
   Отправим из 3-го источника в 1-го потребителя:
   Можно максимум 10 (потребность).
   Остаток:

   • Источник 3: 18 - 10 = 8
   • Потребитель 1: 10 - 10 = 0
     x_{31} = 10

2. Следующая минимальная стоимость — 3 (ячейка [1,2]).
   Отправим из 1-го источника во 2-го потребителя:
   Можно максимум 11 (потребность), но у источника 1 всего 12.
   Отправим 11.
   Остаток:

   • Источник 1: 12 - 11 = 1
   • Потребитель 2: 11 - 11 = 0
     x_{12} = 11

3. Следующая минимальная стоимость — 3 (ячейка [3,3]).
   Потребность: 8, источник 3 имеет 8.
   Отправим 8.
   Остаток:

   • Источник 3: 8 - 8 = 0
   • Потребитель 3: 8 - 8 = 0
     x_{33} = 8

4. Следующая минимальная стоимость — 4 (ячейка [2,4]).
   Потребность: 6, источник 2 имеет 5.
   Отправим 5.
   Остаток:

   • Источник 2: 0
   • Потребитель 4: 6 - 5 = 1
     x_{24} = 5

5. Остался 1 единица у источника 1 и 1 у потребителя 4.
   Ячейка [1,4] — стоимость 8.
   Отправим 1.
   x_{14} = 1

Ответ:

• x_{12} = 11
• x_{14} = 1
• x_{24} = 5
• x_{31} = 10
• x_{33} = 8

Если нужно, могу также посчитать суммарные транспортные затраты.