Составить функцию Лагранжа

Предмет: Математика
Раздел: Математическое программирование (Нелинейное программирование, метод Лагранжа)

Условие задачи

Дана задача нахождения экстремума функции при наличии ограничений:

Целевая функция: f(x) = 2x_1^2 + x_2^2 + 10x_1 + 37x_2 - 100

Ограничение: -2x_1 - 7x_2 = 7

Нужно составить функцию Лагранжа.

Теория

Функция Лагранжа для задачи условной оптимизации с равенством имеет вид:

 L(x, \lambda) = f(x) + \lambda \cdot g(x) 

где:

• f(x) — целевая функция,
• g(x) = 0 — ограничение,
• \lambda — множитель Лагранжа.

Перепишем ограничение в виде: g(x) = -2x_1 - 7x_2 - 7 = 0

Следовательно, функция Лагранжа будет:

 L(x, \lambda) = 2x_1^2 + x_2^2 + 10x_1 + 37x_2 - 100 + \lambda(-2x_1 - 7x_2 - 7) 

Поиск правильного варианта

Сравниваем с предложенными вариантами.

Вариант 4:  L(\lambda, x) = 2x_1^2 + x_2^2 + 10x_1 + 37x_2 - 100 - \lambda(-2x_1 - 7x_2 - 7) 

Раскроем знак минус:  = 2x_1^2 + x_2^2 + 10x_1 + 37x_2 - 100 + \lambda(2x_1 + 7x_2 + 7) 

Это не совпадает с нужной формой, так как знак у \lambda должен быть плюс, а не минус.

Вариант 3:  L(\lambda, x) = 2x_1^2 + x_2^2 + 10x_1 + 37x_2 - 100 + \lambda(-2x_1 - 7x_2 - 7) 

Это точно соответствует нужной форме.

✅ Ответ: Вариант 3.