Спланировать выпуск изделий так, чтобы доход от реализации продукции был максимальным

Предмет: Математическое программирование (или оптимизация ресурсов)

Раздел: Задачи линейного программирования

Задание: требуется спланировать выпуск изделий так, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Дано:

1. Для производства единицы товара \( A_1 \) требуется:
   • 1 кг ресурса \( B_1 \)
   • 2 кг ресурса \( B_2 \)
   • 1 кг ресурса \( B_3 \)
2. Для производства единицы товара \( A_2 \) требуется:
   • 3 кг ресурса \( B_1 \)
   • 1 кг ресурса \( B_2 \)
   • 1 кг ресурса \( B_3 \)
3. Цена продукции:
   • \( A_1 = 40 \) денежных единиц.
   • \( A_2 = 60 \) денежных единиц.
4. Имеющиеся ресурсы:
   • \( B_1 = 180 \) кг
   • \( B_2 = 180 \) кг
   • \( B_3 = 100 \) кг

Требуется:

Максимизировать доход от продажи \( A_1 \) и \( A_2 \) при наличии ограничений на ресурсы.

Решение:

1. Пусть:

• \( x_1 \) — количество изделий \( A_1 \), выпущенных для продажи.
• \( x_2 \) — количество изделий \( A_2 \), выпущенных для продажи.

2. Целевая функция:

Мы стремимся максимизировать доход, который можно записать как: \[ Z = 40x_1 + 60x_2 \]

3. Ограничения по ресурсам:

• Ограничение по ресурсу \( B_1 \) (на сколько материала хватит для производства): \[ 1x_1 + 3x_2 \leq 180 \] (каждое \( A_1 \) требует 1 кг ресурса \( B_1 \), а каждое \( A_2 \) требует 3 кг ресурса \( B_1 \)).
• Ограничение по ресурсу \( B_2 \): \[ 2x_1 + 1x_2 \leq 180 \] (каждое \( A_1 \) требует 2 кг ресурса \( B_2 \), а каждое \( A_2 \) требует 1 кг ресурса \( B_2 \)).
• Ограничение по ресурсу \( B_3 \): \[ 1x_1 + 1x_2 \leq 100 \] (каждое \( A_1 \) и \( A_2 \) требуют по 1 кг ресурса \( B_3 \)).

4. Неотрицательные переменные:

• \( x_1 \geq 0 \)
• \( x_2 \geq 0 \)

Сформулированная задача:

\[ \text{Максимизировать: } Z = 40x_1 + 60x_2 \]

при условиях: \[ \begin{aligned} 1x_1 + 3x_2 &\leq 180 \\ 2x_1 + 1x_2 &\leq 180 \\ 1x_1 + 1x_2 &\leq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned} \]

Решение задачи методом симплекс-таблицы или с помощью программирования.

Для точного решения задачи необходимо либо вручную составить и решить симплекс-таблицу, либо использовать метод решения линейных программ, например, используя Excel (решатель) или специализированное ПО.

Ответ:

На данном этапе задача сформулирована как задача линейного программирования. Далее, решение может получиться с использованием инструментов ЛП.