Построить регрессионную модель с использованием метода наименьших модулей (МНМ) с помощью программы LPSolve

Предмет: Математика / Математическое моделирование / Оптимизация

Задача: Построить регрессионную модель с использованием метода наименьших модулей (МНМ) с помощью программы LPSolve.

Метод наименьших модулей (МНМ) является альтернативой методу наименьших квадратов, когда решение оптимизационной задачи строится по минимизации суммы модулей отклонений, а не их квадратов.

Объяснение задачи:

Перед нами есть модель вида:

\[ y = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2. \]

Имеются следующие известные данные:

• Матрица \(X\) (независимые переменные):

\[ X = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 3 & 9 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \]

• Вектор значений зависимых переменных \( y \):

\[ y = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Необходимо найти коэффициенты регрессии \( \beta = (\beta_1, \beta_2) \), которые минимизируют отклонение \( y - X\beta \) в смысле метода наименьших модулей.

Постановка задачи МНМ:

Задача минимизации отклонения можно записать как линейную оптимизационную задачу:

\[ \min \sum_i |y_i - (X\beta)_i|. \]

Для этого добавим так называемые переменные отклонений \( d_i^+, d_i^- \), которые будут обозначать положительные и отрицательные отклонения, чтобы улучшить условия оптимизации в линейной форме:

\[ y_i - (X\beta)_i = d_i^+ - d_i^-, \]

где \( d_i^+ \geq 0 \), \( d_i^- \geq 0 \).

Тогда задача становится:

\[ \min \sum_i (d_i^+ + d_i^-), \]

где:

\[ \begin{aligned} y_1 - (5\beta_1 + 8\beta_2) &= d_1^+ - d_1^-, \\ y_2 - (3\beta_1 + 9\beta_2) &= d_2^+ - d_2^-, \\ y_3 - (4\beta_1 + 7\beta_2) &= d_3^+ - d_3^-. \end{aligned} \]

Использование программы LPSolve для решения задачи:

Для решения этой задачи используем следующую модель:

1. Функция цели:

\[ \text{min}: d_1^+ + d_1^- + d_2^+ + d_2^- + d_3^+ + d_3^-. \]

2. Ограничения:

\[ \begin{aligned} 4 - (5\beta_1 + 8\beta_2) &= d_1^+ - d_1^-, \\ 6 - (3\beta_1 + 9\beta_2) &= d_2^+ - d_2^-, \\ 2 - (4\beta_1 + 7\beta_2) &= d_3^+ - d_3^-, \\ d_i^+ &\geq 0, \; d_i^- \geq 0. \end{aligned} \]

Пример кода для LPSolve

Запишите эту задачу в файл, который можно передать программе LPSolve. Назовем файл, например, regression.lp.

min: d1_pos + d1_neg + d2_pos + d2_neg + d3_pos + d3_neg;
4 - (5 * b1 + 8 * b2) = d1_pos - d1_neg;
6 - (3 * b1 + 9 * b2) = d2_pos - d2_neg;
2 - (4 * b1 + 7 * b2) = d3_pos - d3_neg;
d1_pos >= 0;
d1_neg >= 0;
d2_pos >= 0;
d2_neg >= 0;
d3_pos >= 0;
d3_neg >= 0;

Запуск решения:

Предположим, что вы уже установили LPSolve на вашем компьютере. Запустите следующую команду в терминале командной строки:

lp_solve regression.lp

Программа выполнит вычисления, и в результате вы получите значения для \(\beta_1\) и \(\beta_2\), которые минимизируют сумму модулей ошибок.

Заключение:

После вычисления программа LPSolve вернет оптимальные значения для коэффициентов \(\beta_1\) и \(\beta_2\) регрессионной модели.