Построить формальную математическую модель, которая позволит: Рассчитать прибыль кафе в день при каждом состоянии погоды

Предмет: Математика
Раздел: Математическое моделирование, Теория вероятностей и математическая статистика

Постановка задачи

Дано кафе, которое проводит три акции для повышения прибыльности летом:

• Акция A_1: при покупке 4 стаканов сока — 1 пирожное в подарок,
• Акция A_2: при покупке 5 пирожных — 2 чашки кофе в подарок,
• Акция A_3: при покупке 3 пицц — 1 коктейль в подарок.

Посещаемость кафе зависит от погодных условий, которые описываются тремя состояниями природы:

• B_1 — теплая погода,
• B_2 — прохладная погода,
• B_3 — холодная погода.

Для каждого состояния заданы средние количества заказов по акциям и вероятности состояний природы.

Необходимо построить формальную математическую модель, которая позволит:

• Рассчитать прибыль кафе в день при каждом состоянии погоды,
• Определить, какая акция приносит наибольшую прибыль при теплом дне.

Данные задачи

• Стоимость товаров:

  C_{\text{сок}} = 2{,}40 \text{ руб.}
  C_{\text{чашка кофе}} = 3 \text{ руб.}
  C_{\text{пирожное}} = 10 \text{ руб.}
  C_{\text{коктейль}} = 5 \text{ руб.}

• Среднее количество заказов при:

  • Теплой погоде B_1:
    25 \text{ заказов по } A_1, \quad 10 \text{ по } A_2, \quad 3 \text{ по } A_3

  • Прохладной погоде B_2:
    5 \text{ заказов по } A_1, \quad 15 \text{ по } A_2, \quad 8 \text{ по } A_3

  • Холодной погоде B_3:
    1 \text{ заказ по } A_1, \quad 20 \text{ по } A_2, \quad 25 \text{ по } A_3

• Вероятности состояний природы:

  P(B_1) = 0{,}5, \quad P(B_2) = 0{,}3, \quad P(B_3) = 0{,}2

Построение модели

Обозначим через n_{ij} среднее количество заказов по акции A_i при погоде B_j:

• n_{11} = 25, \quad n_{12} = 5, \quad n_{13} = 1
• n_{21} = 10, \quad n_{22} = 15, \quad n_{23} = 20
• n_{31} = 3, \quad n_{32} = 8, \quad n_{33} = 25

Вычисление прибыли по каждой акции

Для каждой акции нужно посчитать прибыль с одного заказа, учитывая, что часть товара даётся в подарок.

1. Акция A_1: "При покупке 4 стаканов сока — 1 пирожное в подарок"

• Покупатель платит за 4 стакана сока, получает 1 пирожное бесплатно.
• Прибыль с одного заказа по A_1:

 \pi_1 = 4 \times C_{\text{сок}} = 4 \times 2{,}40 = 9{,}6 \text{ руб.} 

Пирожное в подарок — это затраты кафе, поэтому нужно вычесть его стоимость:

 \pi_1 = 9{,}6 - 10 = -0{,}4 \text{ руб.} 

То есть, по акции A_1 прибыль с одного заказа отрицательна, кафе несет убыток.

2. Акция A_2: "При покупке 5 пирожных — 2 чашки кофе в подарок"

• Покупатель платит за 5 пирожных, получает 2 чашки кофе бесплатно.
• Прибыль с одного заказа:

 \pi_2 = 5 \times 10 - 2 \times 3 = 50 - 6 = 44 \text{ руб.} 

3. Акция A_3: "При покупке 3 пицц — 1 коктейль в подарок"

В условии стоимость пиццы не дана, значит, предположим, что стоимость пиццы C_{\text{пицца}} = x (неизвестна). Для построения модели обозначим её как переменную.

• Прибыль с одного заказа:

 \pi_3 = 3x - 5 

Общая прибыль при каждом состоянии погоды

Для каждого состояния B_j общая прибыль:

 \Pi_j = \sum_{i=1}^3 n_{ij} \pi_i 

Подставим известные значения:

• Для B_1 (теплая погода):

 \Pi_1 = n_{11} \pi_1 + n_{21} \pi_2 + n_{31} \pi_3 = 25 \times (-0{,}4) + 10 \times 44 + 3 \times (3x - 5) \end{formula} \Pi_1 = -10 + 440 + 9x - 15 = 415 + 9x 

• Для B_2 (прохладная погода):

 \Pi_2 = 5 \times (-0{,}4) + 15 \times 44 + 8 \times (3x - 5) = -2 + 660 + 24x - 40 = 618 + 24x 

• Для B_3 (холодная погода):

 \Pi_3 = 1 \times (-0{,}4) + 20 \times 44 + 25 \times (3x - 5) = -0{,}4 + 880 + 75x - 125 = 754{,}6 + 75x 

Ожидаемая прибыль с учетом вероятностей погодных условий

 E[\Pi] = P(B_1) \Pi_1 + P(B_2) \Pi_2 + P(B_3) \Pi_3 

Подставим:

 E[\Pi] = 0{,}5 (415 + 9x) + 0{,}3 (618 + 24x) + 0{,}2 (754{,}6 + 75x) 

Раскроем скобки:

 E[\Pi] = 207{,}5 + 4{,}5x + 185{,}4 + 7{,}2x + 150{,}92 + 15x = (207{,}5 + 185{,}4 + 150{,}92) + (4{,}5 + 7{,}2 + 15) x 

 E[\Pi] = 543{,}82 + 26{,}7 x 

Выводы

• Прибыль по акциям A_1 отрицательна (убыток).
• Прибыль по акции A_2 фиксирована и равна 44 рублям с заказа.
• Прибыль по акции A_3 зависит от стоимости пиццы x.

Для выбора наиболее выгодной акции в теплую погоду:

• При B_1 прибыль по акциям:

 \Pi_1^{A_1} = 25 \times (-0{,}4) = -10 \text{ руб.} 

 \Pi_1^{A_2} = 10 \times 44 = 440 \text{ руб.} 

 \Pi_1^{A_3} = 3 \times (3x - 5) = 9x - 15 \text{ руб.} 

Для того чтобы A_3 была выгоднее A_2:

 9x - 15 > 440 \implies 9x > 455 \implies x > 50{,}56 \text{ руб.} 

То есть, если стоимость пиццы больше примерно 50,56 руб., акция A_3 выгоднее A_2 при теплой погоде.

Итог: формальная математическая модель

1. Определить прибыль с одного заказа по каждой акции:

 \pi_1 = 4 \times C_{\text{сок}} - C_{\text{пирожное}} = 9{,}6 - 10 = -0{,}4 

 \pi_2 = 5 \times C_{\text{пирожное}} - 2 \times C_{\text{кофе}} = 50 - 6 = 44 

 \pi_3 = 3 \times C_{\text{пицца}} - C_{\text{коктейль}} = 3x - 5 

2. Прибыль при каждом состоянии погоды:

 \Pi_j = \sum_{i=1}^3 n_{ij} \pi_i 

3. Ожидаемая прибыль с учетом вероятностей:

 E[\Pi] = \sum_{j=1}^3 P(B_j) \Pi_j 

4. Для анализа выгодности акций при теплом дне сравнить \Pi_1^{A_i}.

Если нужно, могу помочь с дальнейшим анализом или расчетами.