Определить, сколько зверей двух видов выращивать на звероферме, чтобы максимизировать доход от продажи их шкурок, с учетом ограничений по кормам

Предмет: Математика
Раздел: Математическое моделирование, Линейное программирование (ЛП)

📘 Условие задачи:

Нужно определить, сколько зверей двух видов выращивать на звероферме, чтобы максимизировать доход от продажи их шкурок, с учетом ограничений по кормам.

🔢 Обозначения:

Пусть:

• [x_1] — количество зверей первого вида;
• [x_2] — количество зверей второго вида.

📋 Таблица 5 (расход кормов):

💰 Таблица 6 (доход от одной шкурки):

📌 Целевая функция:

Максимизировать доход: [Z = 380x_1 + 200x_2]

🔒 Ограничения:

По кормам:

1. Корм I: [2x_1 + 4x_2 \leq 600]
2. Корм II: [5x_1 + 5x_2 \leq 1000]
3. Корм III: [4x_1 + 15x_2 \leq 1500]

И условия неотрицательности: [x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0]

🧮 Решение графическим методом (основной подход для 2 переменных):

Шаг 1: Преобразуем ограничения к уравнениям:

1. [2x_1 + 4x_2 = 600] → делим на 2: [x_1 + 2x_2 = 300]
2. [5x_1 + 5x_2 = 1000] → делим на 5: [x_1 + x_2 = 200]
3. [4x_1 + 15x_2 = 1500]

Шаг 2: Найдём точки пересечения прямых:

1. Пересечение [x_1 + x_2 = 200] и [x_1 + 2x_2 = 300]:

Вычтем:  (x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 300 - 200 \Rightarrow x_2 = 100 \ x_1 = 200 - x_2 = 100 

→ Точка A: (100, 100)

2. Пересечение [x_1 + x_2 = 200] и [4x_1 + 15x_2 = 1500]

Из первого: [x_1 = 200 - x_2]

Подставим во второе:  4(200 - x_2) + 15x_2 = 1500 \ 800 - 4x_2 + 15x_2 = 1500 \ 11x_2 = 700 \Rightarrow x_2 = \frac{700}{11} \approx 63.64 \ x_1 = 200 - \frac{700}{11} = \frac{1500}{11} \approx 136.36 

→ Точка B: (\frac{1500}{11}, \frac{700}{11})

3. Пересечение [x_1 + 2x_2 = 300] и [4x_1 + 15x_2 = 1500]

Из первого: [x_1 = 300 - 2x_2]

Подставим:  4(300 - 2x_2) + 15x_2 = 1500 \ 1200 - 8x_2 + 15x_2 = 1500 \ 7x_2 = 300 \Rightarrow x_2 = \frac{300}{7} \approx 42.86 \ x_1 = 300 - 2 \cdot \frac{300}{7} = \frac{300}{7} \approx 42.86 

→ Точка C: (\frac{300}{7}, \frac{300}{7})

📈 Теперь подставим найденные точки в целевую функцию:

1. Точка A: [Z = 380 \cdot 100 + 200 \cdot 100 = 38000 + 20000 = 58000]
2. Точка B:  Z = 380 \cdot \frac{1500}{11} + 200 \cdot \frac{700}{11} = \frac{570000 + 140000}{11} = \frac{710000}{11} \approx 64545.45 
3. Точка C:  Z = 380 \cdot \frac{300}{7} + 200 \cdot \frac{300}{7} = \frac{114000 + 60000}{7} = \frac{174000}{7} \approx 24857.14 

✅ Ответ:

Максимальный доход достигается в точке B:
[x_1 = \frac{1500}{11} \approx 136.36],
[x_2 = \frac{700}{11} \approx 63.64]
Доход: [Z \approx 64545.45]

Если требуется целочисленное решение, то нужно использовать методы целочисленного программирования (например, симплекс-метод с целочисленным округлением или метод ветвей и границ).