Как процесс изменения массы лекарства зависит от начального значения массы введения в случае инъекции

Предмет: Математика / Математическое моделирование в биологии или фармакологии

(вероятнее всего, это раздел, посвящённый математическому описанию процессов метаболизма препаратов в организме — фармакокинетика).

Объяснение

Задание представлено в формате таблицы и вопросов, которые требуют анализа зависимости массы лекарственного препарата от разных факторов с помощью математических моделей (экспоненциальные уравнения процессов распада или вывода препарата из организма).

Вопросы и их подробное решение

1. Как процесс изменения массы лекарства зависит от начального значения массы введения в случае инъекции?

   Математически масса лекарства часто уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Обычно используется уравнение вида:

   \[ m(t) = m_0 \cdot e^{-kt} \]

   где:

   • \[ m(t) \] — масса препарата в крови в момент времени \[ t \],
   • \[ m_0 \] — начальная масса препарата в крови (введённая масса),
   • \[ k \] — константа вывода препарата (характеризует скорость вывода вещества),
   • \[ t \] — время.

   Таким образом, начальная масса \[ m_0 \] влияет на весь процесс: чем больше начальная доза, тем на более высоком уровне будет начальный график (экспоненциальная кривая). Однако скорость вывода зависит от константы \[ k \] и не зависит от начальной массы.

2. Сравните массы лекарства в выбранный момент времени для трёх случаев.

   Для каждого случая в таблице даны следующие параметры:

   • \[ t = 1 \] час (время),
   • \[ k \] (константа вывода),
   • \[ m_1 \], \[ m_2 \], \[ m_3 \] — массы препарата для различных начальных масс (см. столбцы E, G, H).

   Для сравнения трёх случаев при \[ t = 1 \] час возьмём значения из таблицы для каждого случая:

   • Для первой строки значения масс следующие:
   • \[ m_1 = 3.032681 \, \text{мг} \],
   • \[ m_2 = 2.019601 \, \text{мг} \],
   • \[ m_3 = 1.009801 \, \text{мг} \].

   Из данных видно, что при увеличении начальной массы лекарства масса препарата в крови через 1 час также увеличивается, соответственно пропорционально начальной массе.

3. Сохранилось ли первоначальное соотношение масс?

   Первоначальное соотношение масс можно оценить, взяв начальные массы препаратов \[ m_1 = 6.032804 \, \text{мг} \], \[ m_2 = 4.019602 \, \text{мг} \], \[ m_3 = 2.009801 \, \text{мг} \]. Проверим, сохранились ли их пропорции:

   \[ \frac{m_1}{m_3} = \frac{6.032804}{2.009801} \approx 3, \]

   \[ \frac{m_2}{m_3} = \frac{4.019602}{2.009801} \approx 2. \]

   Теперь проверим соотношение масс через 1 час:

   \[ \frac{m_1(1)}{m_3(1)} = \frac{3.032681}{1.009801} \approx 3, \]

   \[ \frac{m_2(1)}{m_3(1)} = \frac{2.019601}{1.009801} \approx 2. \]

   Соотношение между массами лекарств во времени сохраняется, что подтверждает экспоненциальный характер изменения материи.

4. Через какое время в каждом из случаев масса лекарства в крови уменьшится вдвое?

   Для этого определим время полураспада. Воспользуемся уравнением, показывающим уменьшение массы:

   \[ m(t) = m_0 \cdot e^{-kt}. \]

   Чтобы определить время полураспада (\[ t_{1/2} \], время, за которое масса уменьшится вдвое), необходимо решить уравнение:

   \[ \frac{m_0}{2} = m_0 \cdot e^{-kt_{1/2}}. \]

   Упростив, получим:

   \[ \frac{1}{2} = e^{-kt_{1/2}}, \]

   \[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -kt_{1/2}, \]

   \[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}. \]

   Теперь подставим значения \[ k \] из таблицы:

   • Для первой строки, где \[ k = 0.1 \]:

   \[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0.1} \approx 6.93 \, \text{часа}. \]

   • Для второй строки, где \[ k = 0.2 \]:

   \[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0.2} \approx 3.47 \, \text{часа}. \]

   • Для третьей строки, где \[ k = 0.3 \]:

Выводы:

• Модель изменения массы лекарства после инъекции соответствует экспоненциальной функции.
• На момент времени \[ t = 1 \] час масса препарата пропорциональна начальной введённой массе.
• Первоначальное соотношение между массами сохраняется.
• Время полураспада различается в зависимости от константы вывода для каждого случая, и его можно вычислить по формуле \[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \].

\( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0.3} \approx 2.31 \, \text{часа} \).