Записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано

Пример 1:

Записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

Решение от преподавателя:

1. Формула Тейлора 3–го порядка для функции f(x) в окрестности точки x₀ = 0 с остаточным членом в форме Пеано имеет вид

 f(x) = f(0) +x +x² +x³ + o(x³ ).

2. Находим производные функции   до 3 – го порядка включительно

3. Вычисляем значения f(x) и ее производных при x = 0

4. Подставляя найденные значения в формулу Тейлора (1), получаем 

В силу нечетности функции  имеем f⁽⁴⁾ (0) = -96 остаточный член в форме Пеано можно написать в виде 

- формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

 – остаточный член в форме Лагранжа.

 – формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пример 2:

Записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

Решение от преподавателя:

1. Найдем разложение функции   по формуле Тейлора в окрестности точки х₀ = 0 . Находя последовательно производные от этой функции, получим:

Подставим полученные значения в формулу Тейлора:

R_n (x) =  - остаточный член в форме Лагранжа.

остаточный член в форме Пеано можно написать в виде

Ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

Ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид: