Задание заключается в полном исследовании функции

Предмет: Математика

Раздел: Анализ функций

Задание заключается в полном исследовании функции \( y = \left( \frac{2 - x}{x + 2} \right)^4 \). Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Область определения функции (ОДЗ).
2. Нахождение производной и исследование на возрастание и убывание.
3. Точки экстремума.
4. Исследование поведения на границах области определения.
5. График функции.

Рассмотрим каждый этап подробно.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Выражение \( \frac{2 - x}{x + 2} \) является рациональной дробью, которая существует везде, кроме тех значений \( x \), при которых знаменатель равен нулю, то есть:

\[ x + 2 = 0 \\ x = -2 \]

Следовательно, область определения \( x \neq -2 \). ОДЗ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \).

2. Нахождение производной функции

Теперь найдём первую производную функции \( y(x) \). Для удобства обозначим:

\[ z = \frac{2 - x}{x + 2} \]

Тогда:

\[ y(z) = z^4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{dz} = 4z^3 \]

Теперь найдём производную для \( z = \frac{2 - x}{x + 2} \):

\[ \frac{dz}{dx} = \frac{(x + 2) \cdot (-1) - (2 - x) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-(x + 2) - (2 - x)}{(x + 2)^2} = \frac{-x - 2 - 2 + x}{(x + 2)^2} = \frac{-4}{(x + 2)^2} \]

Теперь воспользуемся правилом цепочки для нахождения \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = 4z^3 \cdot \frac{-4}{(x + 2)^2} \]

Вернёмся к \( z = \frac{2 - x}{x + 2} \), тогда:

\[ \frac{dy}{dx} = 4 \left( \frac{2 - x}{x + 2} \right)^3 \cdot \frac{-4}{(x + 2)^2} = -16 \cdot \frac{(2 - x)^3}{(x + 2)^5} \]

3. Экстремумы функции

Чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение \( \frac{dy}{dx} = 0 \). Равенство нулю достигается, когда числитель производной равен нулю, то есть:

\[ (2 - x)^3 = 0 \]

Решаем это уравнение:

\[ 2 - x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]

Значит, \( x = 2 \) — возможная точка экстремума.

4. Исследование на возрастание и убывание

Производная \( \frac{dy}{dx} = -16 \cdot \frac{(2 - x)^3}{(x + 2)^5} \) определяет возрастание и убывание функции:

• Если \( x < 2 \), то \( (2 - x)^3 > 0 \), и знак производной отрицательный, следовательно, функция убывает.
• Если \( x > 2 \), то \( (2 - x)^3 < 0 \), и знак производной положительный, следовательно, функция возрастает.