Задание: утверждение

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, предельные и непрерывные функции.

Задание:

Утверждение: "Верно ли, что для определения предела функции в точке не обязательно функция должна быть определена в этой точке?"

Ответы: Да/Нет.

Разбор вопроса:

1. Определение предела функции в точке: Предел функции \( f(x) \) при \( x \to a \) записывается как \( \lim_{x \to a} f(x) = L \). Это означает, что при стремлении \( x \) к \( a \), значение функции \( f(x) \) стремится к числу \( L \), независимо от того, определена ли сама функция в точке \( x = a \).
2. Ключевой момент: Для существования предела функции в точке \( a \), достаточно, чтобы функция была определена в некоторой окрестности \( a \), но она может быть не определена в самой точке (например, разрыв второго рода).
3. Пример: Рассмотрим функцию \[ f(x) = \frac{\sin x}{x}, \text{ при } x \neq 0. \] Функция не определена в точке \( x = 0 \), но её предел при \( x \to 0 \) существует и равен \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \] Таким образом, функция не обязательно должна быть определена в \( x = a \), чтобы предел в этой точке существовал.

Ответ:

Да, верно. Функция может быть не определена в точке, но предел всё равно может существовать.