Задачи с краевыми условиями для уравнения теплопроводности

Это задача по дифференциальным уравнениям в частных производных.

Она относится к математике и математическому анализу, а именно, к разделу дифференциальные уравнения. Конкретнее, это задача типа задачи с краевыми условиями для уравнения теплопроводности (или уравнения диффузии).

Обозначения:

• u(x, t) — функция температуры u в точке x в момент времени t.
• L = 9 — длина стержня (от x = 0 до x = 9).
• u_t = \frac{\partial u}{\partial t} — частная производная функции u по времени.
• u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} — частная производная второго порядка по координате x.

Задано уравнение:

u_t = 9 u_{xx}

Начальные условия:

u(x, 0) = 16 \cos(3\pi x)

Краевые условия:

u_x(0, t) = 0 \quad \text{и} \quad u_x(9, t) = 0

Это означает, что на концах стержня x = 0 и x = 9, тепловой поток равен нулю (идеальные теплоизолированные границы). Условие на тепловой поток выражается через \frac{\partial u}{\partial x} = 0, что и сказано выше в краевых условиях.

Постановка задачи:

Перед нами стоит классическая задача для уравнения диффузии (теплопроводности) с начальным и краевыми условиями.

Шаг 1: Применение метода разделения переменных

Предположим, что решение u(x, t) можно представить в виде произведения двух функций:

u(x, t) = X(x) T(t)

Подставим это выражение в исходное уравнение u_t = 9 u_{xx}.

X(x) T'(t) = 9 X''(x) T(t)

Разделим обе части уравнения на X(x) T(t) (предполагая, что u \neq 0):

\frac{T'(t)}{9 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda

Где \lambda — константа разделения. Таким образом, получаем два уравнения:

1. Для функции T(t): T'(t) = -9 \lambda T(t)
2. Для функции X(x): X''(x) + \lambda X(x) = 0

Шаг 2: Решение уравнения для X(x)

Рассмотрим краевые условия:

X'(0) = 0 \quad \text{и} \quad X'(9) = 0

Знаем, что решение одномерного колебательного уравнения X''(x) + \lambda X(x) = 0 зависит от значения параметра \lambda. Общее решение уравнения для X(x) при \lambda > 0 имеет вид:

X(x) = A \cos(\sqrt{\lambda} x) + B \sin(\sqrt{\lambda} x)

Теперь применим краевые условия:

• X'(0) = 0 даёт: X'(0) = -A \sqrt{\lambda} \sin(0) + B \sqrt{\lambda} \cos(0) = B \sqrt{\lambda} = 0, откуда B = 0.
• X'(9) = 0: теперь у нас X'(x) = -A \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda} x)

Применим это условие к X'(9) = 0:

-\sqrt{\lambda} A \sin(9 \sqrt{\lambda}) = 0

Для ненулевого A, это условие выполняется, если \sin(9 \sqrt{\lambda}) = 0, откуда

9 \sqrt{\lambda} = n \pi \quad \text{где} \quad n = 0, 1, 2, \dots

Следовательно,

\lambda_n = \left( \frac{n \pi}{9} \right)^2

и решение для X(x) выглядит как:

X_n(x) = A_n \cos\left( \frac{n \pi x}{9} \right)

Шаг 3: Решение уравнения для T(t)

Для каждого \lambda_n, решаем уравнение T'(t) = -9 \lambda_n T(t). Это дифференциальное уравнение первого порядка с решением:

T_n(t) = C_n e^{-9 \lambda_n t} = C_n e^{-9 \left( \frac{n \pi}{9} \right)^2 t} = C_n e^{-\frac{n^2 \pi^2}{9} t}

Шаг 4: Общее решение

Таким образом, общее решение задачи имеет вид:

u(x, t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos\left( \frac{n \pi x}{9} \right) e^{-\frac{n^2 \pi^2}{9} t}

Шаг 5: Применение начального условия

Используем начальное условие u(x, 0) = 16 \cos(3 \pi x). Подставляем t = 0 в общее решение:

u(x, 0) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos\left( \frac{n \pi x}{9} \right) = 16 \cos(3 \pi x)

Очевидно, что в ряде остаётся только одно слагаемое при n = 3, и для этого индекса A_3 = 16, а все остальные коэффициенты A_n = 0 при n \neq 3.

Итак, решение задачи:

u(x, t) = 16 \cos\left( \frac{3 \pi x}{9} \right) e^{-\frac{9 \pi^2}{9} t} = 16 \cos(3 \pi x) e^{-\pi^2 t}

Ответ:

u(x, t) = 16 \cos(3 \pi x) e^{-\pi^2 t}