Задача требует сосредоточиться на главной части разложения функции

Определение предмета и раздела задания:

Это задание относится к предмету математика, а точнее к разделу математический анализ, который касается изучения поведения функций, пределов и асимптотических разложений.

Решение:

Задача требует сосредоточиться на главной части разложения функции \( f(x) + g(x) \) при \( x \to 0 \). Главной частью называется слагаемое, которое имеет наибольший порядок убывания при стремлении переменной к нулю.

Даны функции:

\[ f(x) = -2x^5 + 3\cdot \tan\left(\frac{x}{3}\right) \]

\[ g(x) = 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 + e^{\sin{x}} + \ln(1 + x + 8x^4) \]

Наша цель — представить разложения в окрестности \( x = 0 \) для обеих функций.

1. Разложение функции \( f(x) \)

Начнем с \( f(x) \). Для этого используем известные разложения следующих функций в ряд Тейлора вокруг 0.

Разложение \( \tan\left(\frac{x}{3}\right) \) около нуля:

Для малых \( x \): \[ \tan{y} \approx y \,\, \text{при} \,\, y \to 0 \]

Заменим \( y = \frac{x}{3} \). Тогда: \[ \tan\left(\frac{x}{3}\right) \approx \frac{x}{3} \]

Подставляем это в \( f(x) \):

\[ f(x) = -2x^5 + 3\left(\frac{x}{3}\right) = -2x^5 + x \]

Таким образом, для \( f(x) \) при \( x \to 0 \) имеем: \[ f(x) \approx x - 2x^5 \]

2. Разложение функции \( g(x) \)

Теперь перейдем к разложению \( g(x) \).

Разложение \( 7^{2x^2 - 3x + 1} \) около нуля:

Функцию \( a^x \) можно разложить в ряд при малых \( x \) следующим образом: \[ a^x = 1 + x \ln{a} + o(x), \quad при \, x \to 0 \]

Теперь разложим экспоненту \( 7^{2x^2 - 3x + 1} \):

\[ 7^{2x^2 - 3x + 1} = 7 \cdot 7^{2x^2 - 3x} \]

Разложим \( 7^{2x^2 - 3x} \) при \( x \to 0 \):

\[ 7^{2x^2 - 3x} \approx 1 + (2x^2 - 3x) \ln{7} \]

Теперь: \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} \approx 7(1 + (2x^2 - 3x)\ln{7}) = 7 + 7(2x^2 - 3x)\ln{7} \]

Таким образом: \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} \approx 7 + 14x^2 \ln{7} - 21x \ln{7} \]

Теперь продолжим рассмотрение всей функции \( g(x) \):

\[ g(x) = 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 + e^{\sin x} + \ln(1 + x + 8x^4) \]

Сначала: \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 \approx -1 + 14x^2 \ln{7} - 21x \ln{7} \]

Разложение \( e^{\sin x} \) около нуля:

Для малых \( x \): \[ \sin{x} \approx x \]

\[ e^{\sin x} = e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} \]

Разложение \( \ln(1 + x + 8x^4) \) около нуля:

Для малых \( x \): \[ \ln(1 + x + 8x^4) \approx x \]

Теперь можно собрать все разложения вместе:

\[ g(x) \approx -1 + 14x^2 \ln{7} - 21x \ln{7} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + x \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ g(x) \approx -21x \ln{7} + 2x + \left(14x^2 \ln{7} + \frac{x^2}{2}\right) \]

3. Главная часть суммы \( f(x) + g(x) \)

Теперь сложим разложенные функции \( f(x) + g(x) \):

\[ f(x) + g(x) \approx (x - 2x^5) + \left( -21x \ln{7} + 2x + \left(14x^2 \ln{7} + \frac{x^2}{2}\right) \right) \]

Главные члены при \( x \to 0 \) — это линейные слагаемые:

\[ f(x) + g(x) \approx x - 21x \ln{7} + 2x = (3 - 21\ln{7})x \]

Ответ:

Главная часть разложения функции \( f(x) + g(x) \) около \( x = 0 \) имеет вид:

\[ f(x) + g(x) \approx (3 - 21\ln{7})x \]

То есть главная часть разложения — это \( Ax \), где:

\[ A = 3 - 21\ln{7} \]