Задача на дифференциальное исчисление

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление" или "Дифференциальное исчисление".

Дано: \[ f'(x) = -6x \sin(6x). \]

Нужно найти: \[ f\left(\frac{\pi}{30}\right) - f\left(\frac{\pi}{36}\right). \]

Для этого нам необходимо проинтегрировать данную функцию \( f'(x) \), чтобы получить \( f(x) \).

Интеграл от \( f'(x) \) равен \( f(x) \), то есть: \[ f(x) = \int -6x \sin(6x) \, dx. \]

Используем метод интегрирования по частям, где:

\[ u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx, \]

\[ dv = -6 \sin(6x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int -6 \sin(6x) \, dx. \]

Вычислим \( v \): \[ v = \int -6 \sin(6x) \, dx = \frac{6}{6} \cos(6x) = \cos(6x). \]

Теперь подставим \( u \) и \( v \) в формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Получаем: \[ \int x (-6 \sin(6x)) \, dx = x \cos(6x) - \int \cos(6x) \, dx. \]

Вычислим интеграл от \( \cos(6x) \):

\[ \int \cos(6x) \, dx = \frac{1}{6} \sin(6x). \]

Таким образом, полный интеграл:

\[ f(x) = x \cos(6x) - \frac{1}{6} \sin(6x) + C, \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Теперь вычислим \( f\left(\frac{\pi}{30}\right) \) и \( f\left(\frac{\pi}{36}\right) \):

\[ f\left(\frac{\pi}{30}\right) = \left(\frac{\pi}{30}\right) \cos\left(6 \times \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(6 \times \frac{\pi}{30}\right). \]

\[ = \frac{\pi}{30} \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right). \]

\[ f\left(\frac{\pi}{36}\right) = \left(\frac{\pi}{36}\right) \cos\left(6 \times \frac{\pi}{36}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(6 \times \frac{\pi}{36}\right). \]

\[ = \frac{\pi}{36} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right). \]

Нам нужно найти разность: \[ f\left(\frac{\pi}{30}\right) - f\left(\frac{\pi}{36}\right). \]

Подставим туда значения углов:

\[ = \left(\frac{\pi}{30} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{36} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{6} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right). \]

Используя значения:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \]

\[ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 0.809, \quad \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 0.588. \]

Тогда:

\[ f\left(\frac{\pi}{30}\right) \approx \frac{\pi}{30} \cdot 0.809 - \frac{1}{6} \cdot 0.588, \]

\[ f\left(\frac{\пи}{36}\right) \approx \frac{\pi}{36} \cdot \frac{\sqrt{3}}/2 - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}. \]

Окончательный результат (после вычислений): \[ f\left(\frac{\пи}{30}\right) - f\left(\frac{\пи}{36}\right) = 0.162. \]