Выяснить, является ли поле потенциальным

Предмет: Математический анализ
Раздел: Векторный анализ (потенциальные поля)

Дано векторное поле:

 f(x, y) = (y^3 + 2xy^2)i + (3xy^2 + 2x^2y)j 

Условие потенциальности:

Векторное поле  f(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j  является потенциальным, если выполняется условие равенства смешанных частных производных:
 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} 

Где:
 P(x, y) = y^3 + 2xy^2 
 Q(x, y) = 3xy^2 + 2x^2y 

Вычислим частные производные:
 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^3 + 2xy^2) = 3y^2 + 4xy 
 \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2 + 2x^2y) = 3y^2 + 4xy 

Так как  \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} , поле является потенциальным.

Восстановление потенциала:

Ищем функцию  F(x, y) , такую что:
 \frac{\partial F}{\partial x} = P(x, y) = y^3 + 2xy^2 
 \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x, y) = 3xy^2 + 2x^2y 

Интегрируем  P(x, y)  по  x :
 F(x, y) = \int (y^3 + 2xy^2) dx = xy^3 + x^2y^2 + C(y) 

Дифференцируем по  y :
 \frac{\partial F}{\partial y} = 3xy^2 + 2x^2y + C'(y) 

Приравниваем к  Q(x, y) :
 3xy^2 + 2x^2y + C'(y) = 3xy^2 + 2x^2y 

Отсюда  C'(y) = 0 , значит  C(y)  — константа.

Итак, потенциальная функция:
 F(x, y) = xy^3 + x^2y^2 

Смотрим варианты ответа:
Это соответствует варианту 4.

Ответ: 4