Выяснить, какие из предложенных пределов равны числу e

Это задание по математическому анализу, а именно — по теме пределов и чисел. Нам нужно выяснить, какие из предложенных пределов равны числу e. Известно, что предел \((1 + x)^{1/x}\) при \(x \to 0\) равен числу e.

Давайте проанализируем предложенные варианты:

1. \(\lim_{x \to 0} \left(1 + (x-2)^2\right)^{\frac{1}{(x-2)^2}}\)

Это выражение аналогично \((1 + y)^{1/y}\) при \(y \to 0\), если заменить \(y = (x - 2)^2\). При \(x \to 2\), мы имеем \(y \to 0\). Таким образом, этот предел равен e.

2. \(\lim_{x \to 0} \left(1 + 4x\right)^{\frac{1}{4x}}\)

Это выражение аналогично \((1 + z)^{1/z}\), если заменить \(z = 4x\). При \(x \to 0\), мы имеем \(z \to 0\). Таким образом, этот предел равен e.

3. \(\lim_{x \to 2} \left(1 + 4x\right)^{\frac{1}{4x}}\)

Здесь нет прямой замены на стандартную форму, когда \(x \to 2\), \(4x \to 8\). Этот предел не имеет значения, равного e.

4. \(\lim_{x \to 0} \left(1 + (x-2)^2\right)^{\frac{1}{(x-2)^2}}\)

Аналогично варианту 1. При \(x \to 2\), получаем ту же логику и результат, аналогично первому пункту.

Ответ:

Пределы 1 и 2 равны числу e.