Выяснить, какие из предложенных пределов равны числу e

Это задание по математическому анализу, а именно — по теме пределов и чисел. Нам нужно выяснить, какие из предложенных пределов равны числу $e$. Известно, что предел $\text{(}(1+x{)}^{1/x}\text{)}$ при $\text{(}x\to 0\text{)}$ равен числу $e$.

Давайте проанализируем предложенные варианты:

1. $\text{(}\underset{x\to 0}{lim}{(1+(x-2{)}^2)}^{\frac{1}{(x-2{)}^2}}\text{)}$

Это выражение аналогично $\text{(}(1+y{)}^{1/y}\text{)}$ при $\text{(}y\to 0\text{)}$, если заменить $\text{(}y=(x-2{)}^2\text{)}$. При $\text{(}x\to 2\text{)}$, мы имеем $\text{(}y\to 0\text{)}$. Таким образом, этот предел равен $e$.

2. $\text{(}\underset{x\to 0}{lim}{(1+4x)}^{\frac{1}{4x}}\text{)}$

Это выражение аналогично $\text{(}(1+z{)}^{1/z}\text{)}$, если заменить $\text{(}z=4x\text{)}$. При $\text{(}x\to 0\text{)}$, мы имеем $\text{(}z\to 0\text{)}$. Таким образом, этот предел равен $e$.

3. $\text{(}\underset{x\to 2}{lim}{(1+4x)}^{\frac{1}{4x}}\text{)}$

Здесь нет прямой замены на стандартную форму, когда $\text{(}x\to 2\text{)}$, $\text{(}4x\to 8\text{)}$. Этот предел не имеет значения, равного $e$.

4. $\text{(}\underset{x\to 0}{lim}{(1+(x-2{)}^2)}^{\frac{1}{(x-2{)}^2}}\text{)}$

Аналогично варианту 1. При $\text{(}x\to 2\text{)}$, получаем ту же логику и результат, аналогично первому пункту.

Ответ:

Пределы 1 и 2 равны числу $e$.