Выяснить, какие функции являются чётными, а какие нечетными, и объяснить почему

Этот вопрос относится к математике, разделу "Функции и их свойства". Мы определим четность или нечетность функции \( y = f(x) \).

Четная функция \( f(x) \) удовлетворяет условию \( f(-x) = f(x) \). Нечетная функция \( f(x) \) удовлетворяет условию \( f(-x) = -f(x) \). Если функция не удовлетворяет ни одному из этих условий, она называется ни четной, ни нечетной.

а) \( y = \tan(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = \tan(-x) = -\tan(x) = -y(x) \] Это уравнение соответствует нечетной функции. Следовательно, \( y = \tan(x) \) - нечетная функция.

б) \( y = 2x \sin^2(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = 2(-x) \sin^2(-x) = -2x \sin^2(x) \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x) \] Функция не является ни четной, ни нечетной.

в) \( y = x \cot(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = (-x) \cot(-x) = -x (-\cot(x)) = x \cot(x) = y(x) \] Это уравнение соответствует четной функции. Следовательно, \( y = x \cot(x) \) - четная функция.

г) \( y = -x^4 - \tan(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = -(-x)^4 - \tan(-x) = -x^4 + \tan(x) \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x) \] Функция не является ни четной, ни нечетной.

д) \( y = \cot(2x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = \cot(2(-x)) = \cot(-2x) = -\cot(2x) = -y(x) \] Это уравнение соответствует нечетной функции. Следовательно, \( y = \cot(2x) \) - нечетная функция.

е) \( y = \frac{x^2 + \cos^2(x)}{1 - \tan^2(x)} \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = \frac{(-x)^2 + \cos^2(-x)}{1 - \tan^2(-x)} = \frac{x^2 + \cos^2(x)}{1 - \tan^2(x)} = y(x) \] Это уравнение соответствует четной функции. Следовательно, \( y = \frac{x^2 + \cos^2(x)}{1 - \tan^2(x)} \) - четная функция.

ж) \( y = -x^2 \sin(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = -(-x)^2 \sin(-x) = -x^2 (-\sin(x)) = x^2 \sin(x) \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x) \] Функция не является ни четной, ни нечетной.

з) \( y = 5x \sin(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = 5(-x) \sin(-x) = -5x \sin(x) = -y(x) \] Это уравнение соответствует нечетной функции. Следовательно, \( y = 5x \sin(x) \) - нечетная функция.

и) \( y = x^3 + \cot(x) \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = (-x)^3 + \cot(-x) = -x^3 - \cot(x) \neq y(x) \] \[ y(-x) = -x^3 - \cot(x) = -(x^3 + \cot(x)) = -y(x) \] Это уравнение соответствует нечетной функции. Следовательно, \( y = x^3 + \cot(x) \) - нечетная функция.

к) \( y = \frac{x - \sin(x)}{1 + \cos(x)} \) - Проверим четность:

\[ y(-x) = \frac{-x - \sin(-x)}{1 + \cos(-x)} = \frac{-x + \sin(x)}{1 + \cos(x)} \neq y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \neq -y(x) \] Функция не является ни четной, ни нечетной.

Итак, краткие ответы:

• а) нечетная
• б) ни четная, ни нечетная
• в) четная
• г) ни четная, ни нечетной
• д) четная
• ж) ни четная, ни нечетная
• з) нечетная
• и) нечетная
• к) ни четная, ни нечетная