Выразить объём конуса, вписанного в шар радиуса R, как функцию от x.

Давайте рассмотрим задачу с математической точки зрения. Мы имеем шар радиуса \( R \) и конус, вписанный в этот шар. Нам нужно выразить объём конуса как функцию от переменной \( x \).

Шаг 1: Определение параметров

1. Радиус шара: \( R \)
2. Высота конуса: \( 2x \)
3. Радиус основания конуса: \( r \)

Шаг 2: Установление связи между параметрами

Для того чтобы конус был вписан в шар, вершина конуса будет на одном из полюсов шара, а основание — на плоскости, проходящей через экватор шара. Из геометрии известно, что высота конуса \( h \) и радиус основания \( r \) будут связанными друг с другом через радиус шара \( R \).

Шаг 3: Использование теоремы Пифагора

Рассмотрим треугольник, который получается, если мы проведём радиус из центра сферы к основанию конуса и высоту конуса из вершины до его основания. Таким образом высота конуса является отрезком, перпендикулярным к радиусу основания, а радиус основания — это рёбра концов отрезков. По теореме Пифагора для этого треугольника можно записать: \[ R^2 = x^2 + r^2 \]

Шаг 4: Вывод выражения для радиуса основания \( r \)

Радиус основания конуса: \[ r = \sqrt{R^2 - x^2} \]

Шаг 5: Вывод объёма конуса

Объём конуса \( V \) выражается через радиус основания \( r \) и высоту \( h \): \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставим в это уравнение выражения для \( r \) и \( h \): \[ h = 2x \]\[ r = \sqrt{R^2 - x^2} \] Тогда выражение объёма конуса примет вид: \[ V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{R^2 - x^2})^2 (2x) \]

Шаг 6: Упрощение выражения

Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \pi (R^2 - x^2)(2x) \]\[ V = \frac{2}{3} \pi x (R^2 - x^2) \] Таким образом, объём конуса, вписанного в шар радиуса \( R \), как функция от \( x \) выражается следующим образом: \[ V(x) = \frac{2}{3} \pi x (R^2 - x^2) \]

Вывод

Мы выразили объём конуса, вписанного в шар радиуса \( R \), через переменную \( x \): \[ V(x) = \frac{2}{3} \pi x (R^2 - x^2) \] Это и есть искомая функция объёма конуса от переменной \( x \).