Выполнить умножение двух матриц

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Умножение матриц

Рассмотрим задание 30. Необходимо выполнить умножение двух матриц:

 \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \ 4 & 1 & -1 \ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \ -2 \ 7 \end{pmatrix}. 

Шаг 1. Убедимся, что умножение возможно

Первая матрица имеет размерность 3 \times 3, а вторая — 3 \times 1. Умножение возможно, так как число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Результат будет матрицей размерности 3 \times 1.

Шаг 2. Формула умножения

Элемент c_{i,j} результирующей матрицы вычисляется как скалярное произведение i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы:

c_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \cdot b_{k,j},
где n — число столбцов первой матрицы.

Шаг 3. Выполним вычисления

Рассчитаем каждую строку результирующей матрицы:

1. Для первой строки:  c_{1,1} = 5 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) + (-2) \cdot 7 = 15 + 0 - 14 = 1. 

2. Для второй строки:  c_{2,1} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 7 = 12 - 2 - 7 = 3. 

3. Для третьей строки:  c_{3,1} = 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 7 = 9 - 2 - 7 = 0. 

Шаг 4. Запишем результат

Результирующая матрица:

 \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ 0 \end{pmatrix}. 

Ответ:
 \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ 0 \end{pmatrix}.