Выполнить полное исследование функции: область определения

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Дано выражение функции:
f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x)}.

Необходимо выполнить полное исследование функции, которое включает:

1. Область определения.
2. Нахождение асимптот.
3. Производные (первая и вторая) для исследования на возрастание/убывание и экстремумы.
4. Выпуклость/вогнутость и точки перегиба.
5. Построение графика.

1. Область определения функции

Функция f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x)} определена, если выполняются два условия:

1. Знаменатель 1 - \ln(x) \neq 0;
2. Подлогарифмическое выражение \ln(x) определено, то есть x > 0.

Рассмотрим первое условие:
1 - \ln(x) \neq 0 \implies \ln(x) \neq 1 \implies x \neq e, так как \ln(e) = 1.

Таким образом, область определения функции:
D(f) = (0; e) \cup (e; +\infty).

2. Асимптоты функции

Горизонтальные асимптоты:

Исследуем предел функции при x \to +\infty:
 \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1 - \ln(x)}. 

При x \to +\infty логарифм \ln(x) \to +\infty, а знаменатель 1 - \ln(x) \to -\infty. Следовательно,
 \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. 

Горизонтальная асимптота: y = 0.

Вертикальные асимптоты:

Ищем точки, где знаменатель обращается в ноль, то есть 1 - \ln(x) = 0 \implies x = e.
При x \to e^+ \text{ или } x \to e^- знаменатель стремится к нулю, а числитель x остаётся конечным.
Проверим поведение функции около x = e:

• При x \to e^+:
  f(x) \to +\infty.
• При x \to e^−:
  f(x) \to -\infty.

Вертикальная асимптота: x = e.

3. Первая производная

Найдём первую производную функции:
f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x)}.
Используем правило дифференцирования дроби:
 f'(x) = \frac{(1 - \ln(x)) \cdot 1 - x \cdot (-\frac{1}{x})}{(1 - \ln(x))^2}. 

Упростим числитель:
 f'(x) = \frac{1 - \ln(x) + 1}{(1 - \ln(x))^2} = \frac{2 - \ln(x)}{(1 - \ln(x))^2}. 

Исследуем знак первой производной:

• Числитель: 2 - \ln(x).
  2 - \ln(x) > 0 \implies \ln(x) < 2 \implies x < e^2.
  2 - \ln(x) < 0 \implies x > e^2.
• Знаменатель: (1 - \ln(x))^2 > 0 всегда, так как квадрат выражения положителен.

Знак f'(x):

• При x \in (0; e^2): f'(x) > 0 (функция возрастает).
• При x \in (e^2; +\infty): f'(x) < 0 (функция убывает).

Точка экстремума:

f'(x) = 0 \implies 2 - \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 2 \implies x = e^2.

Это точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-».

Значение функции в точке экстремума:
 f(e^2) = \frac{e^2}{1 - \ln(e^2)} = \frac{e^2}{1 - 2} = -e^2. 

Максимум: (e^2, -e^2).

4. Вторая производная

Найдём вторую производную для исследования выпуклости:
 f'(x) = \frac{2 - \ln(x)}{(1 - \ln(x))^2}. 
Продифференцируем ещё раз:
 f''(x) = \frac{(1 - \ln(x))^2 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - (2 - \ln(x)) \cdot 2(1 - \ln(x))(-\frac{1}{x})}{(1 - \ln(x))^4}. 

Упростим:
 f''(x) = \frac{-(1 - \ln(x))^2 / x + 2(2 - \ln(x))(1 - \ln(x)) / x}{(1 - \ln(x))^3}. 

Общий вид:
 f''(x) = \frac{P(x)}{x(1 - \ln(x))^3}, 
где P(x) — многочлен числителя.

Знак второй производной:

Анализ выпуклости требует исследования знака P(x), что громоздко. Однако можно заметить, что выпуклость меняется в точках, где f''(x) = 0, или при разрывах x = e.

5. Итоговое поведение функции

1. Область определения: (0; e) \cup (e; +\infty).
2. Асимптоты:
   • Вертикальная: x = e.
   • Горизонтальная: y = 0.
3. Экстремум: максимум в точке (e^2, -e^2).
4. Выпуклость/вогнутость: анализ требует уточнения, но перегибы возможны.

График функции имеет разрыв в x = e, возрастает на (0; e^2), убывает на (e^2; +\infty).