Выполнить полное исследование функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функций)

Задание: Выполнить полное исследование функции ( y = x^2 + \frac{1}{x^2} ) (номер 2.27 на изображении).

Полное исследование функции включает:

1. Область определения.
2. Нахождение производной и критических точек.
3. Исследование на возрастание и убывание.
4. Нахождение второй производной и исследование на выпуклость и вогнутость.
5. Нахождение экстремумов и точек перегиба.
6. Построение графика.

1. Область определения

Функция ( y = x^2 + \frac{1}{x^2} ) определена при ( x \neq 0 ), так как знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Ответ: ( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) ).

2. Нахождение производной

Для нахождения первой производной ( y' ) используем правило дифференцирования суммы: [ y = x^2 + \frac{1}{x^2}. ] [ y' = 2x - \frac{2}{x^3}. ]

3. Критические точки

Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ): [ 2x - \frac{2}{x^3} = 0. ] Умножим на ( x^3 ) (при ( x \neq 0 )): [ 2x^4 - 2 = 0. ] [ x^4 = 1. ] [ x = \pm 1. ]

Критические точки: ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

4. Исследование на возрастание и убывание

Знак производной ( y' = 2x - \frac{2}{x^3} ) определим на промежутках ( (-\infty; -1) ), ( (-1; 0) ), ( (0; 1) ), ( (1; +\infty) ).

• На ( (-\infty; -1) ): ( y' < 0 ), функция убывает.
• На ( (-1; 0) ): ( y' > 0 ), функция возрастает.
• На ( (0; 1) ): ( y' > 0 ), функция возрастает.
• На ( (1; +\infty) ): ( y' < 0 ), функция убывает.

5. Нахождение второй производной

Найдём вторую производную: [ y' = 2x - \frac{2}{x^3}, ] [ y'' = 2 + \frac{6}{x^4}. ]

Вторая производная всегда положительна (( y'' > 0 ) при ( x \neq 0 )), следовательно, график функции всюду выпуклый.

6. Нахождение экстремумов

Экстремумы находятся в критических точках ( x = -1 ) и ( x = 1 ): [ y(-1) = (-1)^2 + \frac{1}{(-1)^2} = 1 + 1 = 2, ] [ y(1) = (1)^2 + \frac{1}{(1)^2} = 1 + 1 = 2. ]

Точки экстремума: ( (-1, 2) ) и ( (1, 2) ). Это минимумы, так как функция меняет знак производной с «-» на «+».

7. Построение графика

График функции симметричен относительно оси ( y ), так как ( y(x) = y(-x) ). Функция имеет минимумы в точках ( (-1, 2) ) и ( (1, 2) ), а при ( x \to \pm\infty ) значения ( y \to +\infty ).

Итог:

• Область определения: ( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) ).
• Функция убывает на ( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) ), возрастает на ( (-1; 0) \cup (0; 1) ).
• Минимумы: ( (-1, 2) ), ( (1, 2) ).
• Выпуклость: вся область определения.

График функции выглядит как две симметричные ветви с минимумами в указанных точках.