Выписать несколько первых членов последовательностей

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ, Тема: Последовательности)

Дана последовательность: \( a_n = \frac{2^n}{3 + n} \)

Шаг 1. Выпишем несколько первых членов последовательности

Подставим различные значения \(n\) (n — это целый положительный индекс последовательности) и вычислим первые несколько её членов.

1. Для \(n = 1\): \( a_1 = \frac{2^1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
2. Для \(n = 2\): \( a_2 = \frac{2^2}{3 + 2} = \frac{4}{5} = 0.8 \)
3. Для \(n = 3\): \( a_3 = \frac{2^3}{3 + 3} = \frac{8}{6} \approx 1.33 \)
4. Для \(n = 4\): \( a_4 = \frac{2^4}{3 + 4} = \frac{16}{7} \approx 2.29 \)
5. Для \(n = 5\): \( a_5 = \frac{2^5}{3 + 5} = \frac{32}{8} = 4 \)

Итак, первые несколько членов последовательности: \(0.5, 0.8, 1.33, 2.29, 4\).

Шаг 2. Проверка последовательности на монотонность

Чтобы проверить последовательность на монотонность, рассмотрим разность между последовательными членами: \( a_{n+1} - a_n = \frac{2^{n+1}}{3 + (n+1)} - \frac{2^n}{3 + n} \)

Чтобы доказать или опровергнуть монотонность последовательности, можно использовать понятие производной или рассмотреть предел отношения \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \): \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{3+n+1}}{\frac{2^n}{3+n}} = \frac{2 \cdot (3 + n)}{3 + n + 1} \)

Упрощаем выражение: \( \frac{2 \cdot (3 + n)}{4 + n} \)

Посмотрим на предельное поведение этого выражения при больших \(n\): \( \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (3 + n)}{4 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 6}{n + 4} = 2 \)

Так как предел отношения равен числу больше единицы (\( 2 > 1 \)), последовательность будет возрастающей при больших \(n\).

Итог:

Последовательность \( \frac{2^n}{3 + n} \) является возрастающей для больших \(n\), что подтверждает её монотонность на этом участке.