Выделите главную часть вида Ax^k, используя данные

Определение предмета

Это задание относится к разделу математического анализа, а именно к изучению поведения функций вблизи определённой точки (в данном случае — 0). Это можно связать с темами асимптотического анализа функций и разложения функций в ряд Тейлора около точки 0.

Шаг 1. Разбираем функции по отдельности

1.1. Рассмотрим \( f(x) = -2x^5 + 3\cdot\text{tg}\left(\frac{x}{3}\right) \)

Для того чтобы выделить главную часть функции \( f(x) \), вычислим поведение каждого члена при \( x \to 0 \):

1. Член \( -2x^5 \) исчезает при \( x \to 0 \), так как это многочлен степени 5.
2. Теперь рассмотрим \( 3\cdot\text{tg}\left(\frac{x}{3}\right) \). Поскольку \[ \text{tg}(x) \approx x \quad \text{при} \quad x \to 0, \] то \[ \text{tg}\left(\frac{x}{3}\right) \approx \frac{x}{3} \quad \text{при} \quad x \to 0. \] Тогда \[ 3\cdot\text{tg}\left(\frac{x}{3}\right) \approx 3\cdot\frac{x}{3} = x. \]

Таким образом, для \( f(x) \) главное слагаемое при \( x \to 0 \) — это линейный член \( x \). Все остальные члены убывают быстрее (например, \( x^5 \)).

Итого: \[ f(x) \approx x \quad \text{при} \quad x \to 0. \]

1.2. Рассмотрим \( g(x) = 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 + e^{\sin{x}} + \ln(1 + x + 8x^4) \)

Теперь мы детально проанализируем поведение каждого слагаемого при \( x \to 0 \):

1. \( 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 \): \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} = 7 \cdot 7^{2x^2 - 3x}. \] При \( x \to 0 \), \[ 2x^2 - 3x \to 0, \] и \( 7^{2x^2 - 3x} \approx 1 \). Тогда \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} \approx 7. \] Следует, что \[ 7^{2x^2 - 3x + 1} - 8 \approx 7 - 8 = -1. \]
2. \( e^{\sin{x}} \): При \( x \to 0 \), известно, что \( \sin{x} \approx x \). Таким образом, \[ e^{\sin{x}} \approx e^x. \] Разложим \( e^x \) по Тейлору при \( x \to 0 \): \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3). \] Следовательно, \[ e^{\sin{x}} \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}. \]
3. \( \ln(1 + x + 8x^4) \): Для малых \( x \), \[ \ln(1 + u) \approx u \quad \text{при} \quad u \to 0. \] Здесь \( u = x + 8x^4 \). Поскольку \( x^4 \) убывает быстрее, то при \( x \to 0 \), \[ \ln(1 + x + 8x^4) \approx x. \]

Таким образом, для \( g(x) \) получаем: \[ g(x) \approx (-1) + (1 + x + \frac{x^2}{2}) + x \approx 2x + \frac{x^2}{2}. \]

Итого: \[ g(x) \approx 2x \quad \text{при} \quad x \to 0. \]

Шаг 2. Найдём главную часть суммы \( f(x) + g(x) \)

Теперь сложим результаты: \[ f(x) + g(x) \approx x + 2x = 3x. \]

Ответ:

Главная часть суммы \(\ f(x) + g(x)\ \) при \(\ x \to 0\ \) имеет вид: \[\ 3x.\ \]