Выделить главные члены каждой части функции и определить главный член всей функции

Описание задачи

Мы видим, что функция \( f(x) \) имеет различное представление с функциями, включающими арктангенс, синус, косинус и тангенс от малых степеней \(x\). Задача сводится к тому, чтобы выделить главные члены каждой части функции при \(x \to 0\) и определить главный член всей функции. Задача относится к разделу Математического анализа, а в частности, к теме Асимптотика функций и Ряды Тейлора.

Функция \( f(x) \)

Дана функция:

\[ f(x) = 4\cdot(\arctg(\sqrt{x}))^3 + 9\cdot\sin(x^3)\cdot\cos(x^6) + x^2\cdot(\tan(x/3))^3 \]

Требуется выделить главную часть вида \(A x^k\), где \(A\) — коэффициент, а \(k\) — степень.

Шаг 1: Разложение каждой части функции

1. Первая часть: \( 4\cdot (\arctg(\sqrt{x}))^3 \)

   Исследуем поведение арктангенса при малых \(x\). Для малых \(x\), функция арктангенс может быть разложена в ряд Тейлора:

   \[ \arctg(x) \approx x - \frac{x^3}{3} + O(x^5) \]

   Подставляем \( \sqrt{x} \) вместо \( x \):

   \[ \arctg(\sqrt{x}) \approx \sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x})^3}{3} + O(x^2) = \sqrt{x} - \frac{x^{3/2}}{3} + O(x^2) \]

   Теперь, возведем это выражение в куб (сохраняя только малые степени):

   \[ (\arctg(\sqrt{x}))^3 \approx (\sqrt{x})^3 = x^{3/2} \]

   Умножаем на коэффициент 4:

   \[ 4 \cdot (\arctg(\sqrt{x}))^3 \approx 4 \cdot x^{3/2} \]

2. Вторая часть: \( 9\cdot \sin(x^3) \cdot \cos(x^6) \)

   Разложим синус и косинус при малых \(x\):

   \[ \sin(x^3) \approx x^3 - \frac{(x^3)^3}{6} = x^3 + O(x^9) \]

   \[ \cos(x^6) \approx 1 - \frac{x^{12}}{2} + O(x^{24}) \]

   Тогда их произведение:

   \[ \sin(x^3) \cdot \cos(x^6) \approx x^3 \cdot 1 = x^3 \]

   Умножаем на коэффициент 9:

   \[ 9 \cdot \sin(x^3) \cdot \cos(x^6) \approx 9 \cdot x^3 \]

3. Третья часть: \( x^2 \cdot (\tan(x/3))^3 \)

   Разложим тангенс при малых \(x\):

   \[ \tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \]

   Для \( x/3 \):

   \[ \tan(x/3) \approx \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \left(\frac{x}{3}\right)^3 + O(x^5) = \frac{x}{3} + O(x^5) \]

   Теперь возведём это в куб:

   \[ \left(\frac{x}{3}\right)^3 = \frac{x^3}{27} \]

   Подставляем это в выражение:

   \[ x^2 \cdot (\tan(x/3))^3 \approx x^2 \cdot \frac{x^3}{27} = \frac{x^5}{27} \]

Шаг 2: Выбор главной части

Теперь соберем все члены:

• Первая часть: \( 4 \cdot x^{3/2} \)
• Вторая часть: \( 9 \cdot x^3 \)
• Третья часть: \( \frac{x^5}{27} \)

Из этих членов меньшая степень — \( 3/2 \). Следовательно, главный член функции:

\[ f(x) \approx 4 \cdot x^{3/2} \]

Ответ

Главная часть функции \( f(x) \) при \( x \to 0 \) имеет вид:

\[ 4 x^{3/2} \]

где \( A = 4 \), \( k = \frac{3}{2} \).