Выделить действительную и мнимую часть полученной производной

Предмет: Математический анализ
Раздел: Комплексный анализ

Рассмотрим функцию комплексного переменного:
f(z) = 2i \ln z

1. Область дифференцируемости

Функция \ln z в комплексном анализе определяется как:
\ln z = \ln |z| + i \arg z
где \arg z — аргумент комплексного числа z, который может быть многозначной функцией.

Функция \ln z аналитична везде, кроме точек, где z = 0, и разрыва на отрицательной вещественной полуоси (из-за многозначности аргумента).

Следовательно, функция f(z) = 2i \ln z будет аналитичной в области \mathbb{C} \setminus \{0, \text{отрицательная вещественная полуось}\}.

2. Вычисление производной

Используем стандартную производную логарифма в комплексном анализе:
\frac{d}{dz} \ln z = \frac{1}{z}

Следовательно,
f'(z) = 2i \cdot \frac{1}{z} = \frac{2i}{z}.

3. Выделение действительной и мнимой части

Пусть z = x + iy, тогда
\frac{2i}{z} = \frac{2i}{x + iy}.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное x - iy:
\frac{2i(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{2i(x - iy)}{x^2 + y^2}.

Разделяем на действительную и мнимую части:
\frac{2i(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{2ix}{x^2 + y^2} - \frac{2y}{x^2 + y^2} i.

Таким образом,

• Действительная часть: u(x, y) = -\frac{2y}{x^2 + y^2}.
• Мнимая часть: v(x, y) = \frac{2x}{x^2 + y^2}.

Ответ:

1. Область дифференцируемости: \mathbb{C} \setminus \{0, \text{отрицательная вещественная полуось}\}.
2. Производная: f'(z) = \frac{2i}{z}.
3. Действительная часть: -\frac{2y}{x^2 + y^2}.
4. Мнимая часть: \frac{2x}{x^2 + y^2}.