Вычислять интегралы путем преобразования в цилиндрические или сферические координаты

Предмет: Математика (высшая математика), раздел: Математический анализ, подраздел: Многомерные интегралы, метод преобразования координат (в данном случае в цилиндрическую или сферическую систему координат).

Задание 10: Дано тройной интеграл:

$\text{[}\underset{V}{\iiint }\frac{zdxdydz}{\sqrt{x^2+y^2}},\text{]}$ где $\text{(}V\text{)}$ — область, ограниченная поверхностями:

1. $\text{(}{x}^2+y^2=4y\text{)}$,
2. $\text{(}y+z=4\text{)}$,
3. $\text{(}z\ge 0\text{)}$.

Необходимо преобразовать данный интеграл в цилиндрические координаты и вычислить.

Шаг 1: Переход в цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты определяются следующим образом: $\text{[}x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,\text{]}$ где $\text{(}r=\sqrt{x^2+y^2}\text{)}$.

Преобразование дифференциала объёма: $\text{[}dxdydz=rdrd\theta dz.\text{]}$

Подставляем это в интеграл: $\text{[}\underset{V}{\iiint }\frac{z(rdrd\theta dz)}{r}=\underset{V}{\iiint }zdrd\theta dz.\text{]}$

Шаг 2: Описание области $\text{(}V\text{)}$ в цилиндрических координатах

Поверхность 1: $\text{(}{x}^2+y^2=4y\text{)}$

Перепишем это уравнение: $\text{[}{r}^2=4r\sin \theta .\text{]}$ Сокращаем на $\text{(}r\text{)}$ (предполагая $\text{(}r\ne 0\text{)}$): $\text{[}r=4\sin \theta .\text{]}$ Таким образом, у нас есть зависимость $\text{(}r(\theta )\text{)}$, что задаёт границу области в плоскости $\text{(}xy\text{)}$ в цилиндрических координатах.

Поверхность 2: $\text{(}y+z=4\text{)}$

В цилиндрических координатах это переписывается как: $\text{[}r\sin \theta +z=4,\text{]}$ откуда $\text{[}z=4-r\sin \theta .\text{]}$ Таким образом, область $\text{(}V\text{)}$ ограничена:

• $\text{(}r=0\text{)}$ до $\text{(}r=4\sin \theta \text{)}$,
• $\text{(}z=0\text{)}$ до $\text{(}z=4-r\sin \theta \text{)}$,
• $\text{(}\theta \text{)}$ изменяется от 0 до $\text{(}\pi \text{)}$ (так как для положительных значений $\text{(}r\sin \theta \text{)}$ $\text{(}\theta \text{)}$ от 0 до $\text{(}\pi \text{)}$).

Шаг 3: Переписывание интеграла

Теперь, зная границы, можем переписать наш тройной интеграл: $\text{[}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{4\sin \theta }{\int }_0^{4-r\sin \theta }zdzdrd\theta .\text{]}$

Шаг 4: Вычисление интеграла

1. Интегрируем по $\text{(}z\text{)}$: $\text{[}{\int }_0^{4-r\sin \theta }zdz={\frac{z^2}{2}|}_0^{4-r\sin theta}=\frac{(4-r\sin \theta {)}^2}{2}.\text{]}$ Теперь наш интеграл принимает вид: $\text{[}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{4\sin \theta }\frac{(4-r\sin \theta {)}^2}{2}drd\theta .\text{]}$

2. Раскроем квадрат и произведём интегрирование по

$\text{(}r\text{)}$: $\text{[}(4-r\sin theta{)}^2=16-8r\sin \theta +r^2{\sin }^2\theta ,\text{]}$ тогда интеграл превращается в: $\text{[}\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{4\sin theta}(16-8r\sin \theta +r^2{\sin }^2\theta )drd\theta .\text{]}$

Выразим каждый интеграл по

$\text{(}r\text{)}$ отдельно: $\text{[}\frac{1}{2}\left\{{\int }_0^{\pi }{[16r-4r^2\sin \theta +\frac{r^3{\sin }^2\theta }{3}]}_0^{4\sin \theta }d\theta \right\}.\text{]}$

Подставляем верхний предел

$\text{(}r=4\sin \theta \text{)}$: $\text{[}\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }[16(4\sin \theta )-4(4\sin \theta {)}^2\sin \theta +\frac{(4\sin \theta {)}^3{\sin }^2\theta }{3}]d\theta .\text{]}$

Вынесем константы:

$\text{[}\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }[64\sin \theta -64{\sin }^3\theta +\frac{256}{3}{\sin }^5\theta ]d\theta .\text{]}$

Теперь по отдельности решаем эти интегралы, зная стандартные интегралы для

$\text{(}sin\theta \text{)}$, $\text{(}si{n}^3\theta \text{)}$, и $\text{(}si{n}^5\theta \text{)}$. Итоговый ответ после вычисления этих интегралов будет итогом значения тройного интеграла.