Предмет: Математика (высшая математика), раздел: Математический анализ, подраздел: Многомерные интегралы, метод преобразования координат (в данном случае в цилиндрическую или сферическую систему координат).
Задание 10: Дано тройной интеграл:
где — область, ограниченная поверхностями:
- ,
- ,
- .
Необходимо преобразовать данный интеграл в цилиндрические координаты и вычислить.
Шаг 1: Переход в цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты определяются следующим образом: где .
Преобразование дифференциала объёма:
Подставляем это в интеграл:
Шаг 2: Описание области в цилиндрических координатах
Поверхность 1:
Перепишем это уравнение: Сокращаем на (предполагая ): Таким образом, у нас есть зависимость , что задаёт границу области в плоскости в цилиндрических координатах.
Поверхность 2:
В цилиндрических координатах это переписывается как: откуда Таким образом, область ограничена:
- до ,
- до ,
- изменяется от 0 до (так как для положительных значений от 0 до ).
Шаг 3: Переписывание интеграла
Теперь, зная границы, можем переписать наш тройной интеграл:
Шаг 4: Вычисление интеграла
1. Интегрируем по : Теперь наш интеграл принимает вид: