Вычислять интегралы путем преобразования в цилиндрические или сферические координаты

Предмет: Математика (высшая математика), раздел: Математический анализ, подраздел: Многомерные интегралы, метод преобразования координат (в данном случае в цилиндрическую или сферическую систему координат).

Задание 10: Дано тройной интеграл:

\[ \iiint\limits_V \frac{z \, dx \, dy \, dz}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \] где \(V\) — область, ограниченная поверхностями:

1. \(x^2 + y^2 = 4y\),
2. \(y + z = 4\),
3. \(z \geq 0\).

Необходимо преобразовать данный интеграл в цилиндрические координаты и вычислить.

Шаг 1: Переход в цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты определяются следующим образом: \[ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta, \quad z = z, \] где \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Преобразование дифференциала объёма: \[ dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz. \]

Подставляем это в интеграл: \[ \iiint\limits_V \frac{z \, (r \, dr \, d\theta \, dz)}{r} = \iiint\limits_V z \, dr \, d\theta \, dz. \]

Шаг 2: Описание области \(V\) в цилиндрических координатах

Поверхность 1: \(x^2 + y^2 = 4y\)

Перепишем это уравнение: \[ r^2 = 4r\sin\theta. \] Сокращаем на \(r\) (предполагая \(r \neq 0\)): \[ r = 4\sin\theta. \] Таким образом, у нас есть зависимость \(r(\theta)\), что задаёт границу области в плоскости \(xy\) в цилиндрических координатах.

Поверхность 2: \(y + z = 4\)

В цилиндрических координатах это переписывается как: \[ r \sin \theta + z = 4, \] откуда \[ z = 4 - r \sin\theta. \] Таким образом, область \(V\) ограничена:

• \(r = 0\) до \(r = 4\sin\theta\),
• \(z = 0\) до \(z = 4 - r\sin\theta\),
• \(\theta\) изменяется от 0 до \(\pi\) (так как для положительных значений \(r \sin \theta\) \( \theta \) от 0 до \(\pi\)).

Шаг 3: Переписывание интеграла

Теперь, зная границы, можем переписать наш тройной интеграл: \[ \int_0^\pi \int_0^{4 \sin \theta} \int_0^{4 - r \sin \theta} z \, dz \, dr \, d\theta. \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

1. Интегрируем по \(z\): \[ \int_0^{4 - r \sin \theta} z \, dz = \left. \frac{z^2}{2} \right|_0^{4 - r \sin theta} = \frac{(4 - r \sin \theta)^2}{2}. \] Теперь наш интеграл принимает вид: \[ \int_0^\pi \int_0^{4 \sin \theta} \frac{(4 - r \sin \theta)^2}{2} \, dr \, d\theta. \]

2. Раскроем квадрат и произведём интегрирование по

\(r\): \[ (4 - r \sin theta)^2 = 16 - 8r \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta, \] тогда интеграл превращается в: \[ \frac{1}{2} \int_0^\pi \int_0^{4 \sin theta} \left(16 - 8r \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta \right) dr \, d\theta. \]

Выразим каждый интеграл по

\(r\) отдельно: \[ \frac{1}{2} \left\{ \int_0^\pi \left[ 16r - 4r^2 \sin \theta + \frac{r^3 \sin^2 \theta}{3} \right]_0^{4 \sin \theta} d\theta \right\}. \]

Подставляем верхний предел

\(r = 4 \sin \theta\): \[ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left[ 16 (4 \sin \theta) - 4 (4 \sin \theta)^2 \sin \theta + \frac{(4 \sin \theta)^3 \sin^2 \theta}{3} \right] d\theta. \]

Вынесем константы:

\[ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left[ 64 \sin \theta - 64 \sin^3 \theta + \frac{256}{3} \sin^5 \theta \right] d\theta. \]

Теперь по отдельности решаем эти интегралы, зная стандартные интегралы для

\(sin \theta\), \(sin^3 \theta\), и \(sin^5 \theta\). Итоговый ответ после вычисления этих интегралов будет итогом значения тройного интеграла.