Вычислять интегралы путем преобразования в цилиндрические или сферические координаты

Предмет: Математика (высшая математика), раздел: Математический анализ, подраздел: Многомерные интегралы, метод преобразования координат (в данном случае в цилиндрическую или сферическую систему координат).
Задание 10: Дано тройной интеграл:

\[Vzdxdydzx2+y2,\] где \(V\) — область, ограниченная поверхностями:

  1. \(x2+y2=4y\),
  2. \(y+z=4\),
  3. \(z0\).

Необходимо преобразовать данный интеграл в цилиндрические координаты и вычислить.

Шаг 1: Переход в цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты определяются следующим образом: \[x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,\] где \(r=x2+y2\).

Преобразование дифференциала объёма: \[dxdydz=rdrdθdz.\]

Подставляем это в интеграл: \[Vz(rdrdθdz)r=Vzdrdθdz.\]

Шаг 2: Описание области \(V\) в цилиндрических координатах
Поверхность 1: \(x2+y2=4y\)

Перепишем это уравнение: \[r2=4rsinθ.\] Сокращаем на \(r\) (предполагая \(r0\)): \[r=4sinθ.\] Таким образом, у нас есть зависимость \(r(θ)\), что задаёт границу области в плоскости \(xy\) в цилиндрических координатах.

Поверхность 2: \(y+z=4\)

В цилиндрических координатах это переписывается как: \[rsinθ+z=4,\] откуда \[z=4rsinθ.\] Таким образом, область \(V\) ограничена:

  • \(r=0\) до \(r=4sinθ\),
  • \(z=0\) до \(z=4rsinθ\),
  • \(θ\) изменяется от 0 до \(π\) (так как для положительных значений \(rsinθ\) \(θ\) от 0 до \(π\)).
Шаг 3: Переписывание интеграла

Теперь, зная границы, можем переписать наш тройной интеграл: \[0π04sinθ04rsinθzdzdrdθ.\]

Шаг 4: Вычисление интеграла

1. Интегрируем по \(z\): \[04rsinθzdz=z22|04rsintheta=(4rsinθ)22.\] Теперь наш интеграл принимает вид: \[0π04sinθ(4rsinθ)22drdθ.\]

2. Раскроем квадрат и произведём интегрирование по
\(r\): \[(4rsintheta)2=168rsinθ+r2sin2θ,\] тогда интеграл превращается в: \[120π04sintheta(168rsinθ+r2sin2θ)drdθ.\]
Выразим каждый интеграл по
\(r\) отдельно: \[12{0π[16r4r2sinθ+r3sin2θ3]04sinθdθ}.\]
Подставляем верхний предел
\(r=4sinθ\): \[120π[16(4sinθ)4(4sinθ)2sinθ+(4sinθ)3sin2θ3]dθ.\]
Вынесем константы:
\[120π[64sinθ64sin3θ+2563sin5θ]dθ.\]
Теперь по отдельности решаем эти интегралы, зная стандартные интегралы для
\(sinθ\), \(sin3θ\), и \(sin5θ\). Итоговый ответ после вычисления этих интегралов будет итогом значения тройного интеграла.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут