Вычислите производную функции заданной параметрически

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, дифференцирование параметрически заданных функций

Дано параметрическое задание функции:

\[ \begin{cases} x = \sin^2 t, \\ y = \cos^2 t, \end{cases} \], где \(0 < t < \frac{\pi}{2}\). Требуется найти производную \( \frac{dy}{dx} \).

Шаг 1. Найдём производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \).

• \( x = \sin^2 t \): Применим правило производной сложной функции:

  \[ \frac{dx}{dt} = 2\sin t \cdot \cos t. \]

• \( y = \cos^2 t \): Применим правило производной сложной функции:

  \[ \frac{dy}{dt} = 2\cos t \cdot (-\sin t) = -2\sin t \cdot \cos t. \]

Шаг 2. Найдём \(\frac{dy}{dx}\) через цепное правило.

Используем формулу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. \]

Подставляем найденные выше значения:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin t \cdot \cos t}{2\sin t \cdot \cos t}. \]

Сократим общий множитель \(2\sin t \cos t\) (учитывая, что \(t \in (0, \pi/2)\), и значения синуса и косинуса положительны):

Ответ:

\[ \frac{dy}{dx} = -1. \]