Вычислите предел не используя правило лопиталя

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Пределы функций

Задано вычислить предел:

 \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x - 2}{(x + x^2)(x + 1)} 

Шаг 1: Подставим значение [x = -1] в числитель и знаменатель

Числитель:

 x^3 - 3x - 2 = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 

Знаменатель:

 (x + x^2)(x + 1) = (-1 + (-1)^2)(-1 + 1) = ( -1 + 1)(0) = 0 

Получаем неопределенность вида [\frac{0}{0}]. Нужно упростить выражение.

Шаг 2: Разложим числитель

Рассмотрим многочлен в числителе:

 x^3 - 3x - 2 

Попробуем разложить его на множители. Используем метод подбора корней. Проверим [x = -1]:

 (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 

Значит, [x + 1] — корень, и [x + 1] — делитель.

Разделим многочлен на [x + 1] с помощью деления столбиком или схемы Горнера.

Выполним деление:

 x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2) 

Теперь разложим [x^2 - x - 2]:

 x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) 

Итак, числитель:

 x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2) 

Шаг 3: Упростим дробь

Подставим в исходное выражение:

 \frac{(x + 1)^2(x - 2)}{(x + x^2)(x + 1)} = \frac{(x + 1)^2(x - 2)}{x(1 + x)(x + 1)} 

Сократим [x + 1] в числителе и знаменателе:

 = \frac{(x + 1)(x - 2)}{x(1 + x)} 

Теперь можно подставить [x = -1]:

Числитель:

 (x + 1)(x - 2) = ( -1 + 1)(-1 - 2) = 0 \cdot (-3) = 0 

Знаменатель:

 x(1 + x) = (-1)(0) = 0 

Снова неопределенность. Сократим еще раз:

 = \frac{(x - 2)}{x}, \quad \text{при } x \to -1 

Теперь можно подставить:

 \frac{-1 - 2}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 

Ответ:

 \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x - 2}{(x + x^2)(x + 1)} = 3  ✅