Вычислите объем тела, измеряемый этими поверхностями

Предмет: Математика Раздел: Математический анализ (интегральное исчисление функций нескольких переменных) Задача: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью \( z = x^2 + y^2 \) и плоскостью \( x + y = 1 \).

Пошаговое решение:

1. Определение границ в плоскости \( (x,y) \): Дана плоскость \( x + y = 1 \). Это — прямая линия на плоскости \( xy \), которая проходит через точки \( (1, 0) \) и \( (0, 1) \). Таким образом область интегрирования будет ограничена этой прямой. Важно отметить, что на плоскости \( x + y = 1 \) лежат только точки внутри треугольника с вершинами \( (0,0) \), \( (1,0) \) и \( (0,1) \).
2. Объем тела как двукратный интеграл: Объем тела можно найти с использованием двукратного интеграла. Формула объема \( V \), заключенного между поверхностью \( z = x^2 + y^2 \) и плоскостью, имеет вид: \[ V = \iint\limits_D z \,dx\,dy = \iint\limits_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy, \] где \( D \) — область, ограниченная прямой \( x+y=1 \).
3. Постановка границ для интеграла: Так как область \( D \) — треугольник с вершинами \( (0,0) \), \( (1,0) \) и \( (0,1) \), границы интегрирования можно написать следующим образом: При \( x \) от 0 до 1, \( y \) изменяется от 0 до \( 1 - x \). \[ V = \int_0^1 \left( \int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx. \]
4. Внутренний интеграл по \( y \): \[ \int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy = \int_0^{1-x} x^2 \, dy + \int_0^{1-x} y^2 \, dy. \] Для первого слагаемого: \[ \int_0^{1-x} x^2 \, dy = x^2 \cdot (1-x). \] Для второго слагаемого: \[ \int_0^{1-x} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} = \frac{(1-x)^3}{3}. \] Теперь объединяем результаты: \[ \int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy = x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3}. \]
5. Внешний интеграл по \( x \): Тепе...