Вычислите интеграл или установить его расходимость

Это задание из предмета "математика," а конкретно из раздела "интегральное исчисление." Решим данный интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

1. Замена переменной:

Сделаем замену \( x = \sin{t} \), тогда \( dx = \cos{t} \, dt \). Пределы интегрирования изменятся:

• при \( x = 0 \), \( t = \arcsin(0) = 0 \),
• при \( x = 1 \), \( t = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \).

Подставляя это в интеграл, получим: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arcsin(\sin{t})}{\sqrt{1-\sin^2{t}}} \cos{t} \, dt \]

2. Упрощение подынтегрального выражения:

Так как \(\arcsin(\sin{t}) = t\) и \(\sqrt{1-\sin^2{t}} = \cos{t}\), наш интеграл принимает вид: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{t}{\cos{t}} \cdot \cos{t} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \, dt \]

3. Вычисление интеграла:

Теперь нам необходимо вычислить простой интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \, dt \] Применим формулу для интегрирования функции \( t \): \[ \int t \, dt = \frac{t^2}{2} \] Подставим пределы интегрирования: \[ \left. \frac{t^2}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{\pi^2}{8} \]

Таким образом, значение данного интеграла равно \(\frac{\pi^2}{8}\).