Вычислить значение y’x функции

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Дана система функций:

 \begin{cases} x = \ln\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right), \ y = t\sqrt{t^2 + 1} \end{cases} 

Необходимо найти производную \frac{dy}{dx} при t = 1.

Решение:

1. Найдем производные \frac{dx}{dt} и \frac{dy}{dt}.

Для x:

x = \ln\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right)

Применяем производную логарифма:

\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dt}\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right).

Внутри логарифма производная:

\frac{d}{dt}\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 1}} \cdot 2t = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}.

Итак:

\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \left(1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}\right).

Приведем выражение к общему знаменателю:

\frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{(t + \sqrt{t^2 + 1})\sqrt{t^2 + 1}}.

Для y:

y = t\sqrt{t^2 + 1}.

Применяем правило произведения:

\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t) \cdot \sqrt{t^2 + 1} + t \cdot \frac{d}{dt}\left(\sqrt{t^2 + 1}\right).

Производная \sqrt{t^2 + 1}:

\frac{d}{dt}\left(\sqrt{t^2 + 1}\right) = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 1}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}.

Подставляем:

\frac{dy}{dt} = \sqrt{t^2 + 1} + t \cdot \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \sqrt{t^2 + 1} + \frac{t^2}{\sqrt{t^2 + 1}}.

Приведем к общему знаменателю:

\frac{dy}{dt} = \frac{t^2 + 1}{\sqrt{t^2 + 1}}.

2. Найдем \frac{dy}{dx}.

По правилу дифференцирования:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Подставляем найденные значения:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{t^2 + 1}{\sqrt{t^2 + 1}}}{\frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{(t + \sqrt{t^2 + 1})\sqrt{t^2 + 1}}}.

Упрощаем:

\frac{dy}{dx} = \frac{t^2 + 1}{\sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{(t + \sqrt{t^2 + 1})\sqrt{t^2 + 1}}{\sqrt{t^2 + 1} + t}.

Сокращаем \sqrt{t^2 + 1}:

\frac{dy}{dx} = \frac{(t^2 + 1)(t + \sqrt{t^2 + 1})}{\sqrt{t^2 + 1} + t}.

3. Подставим t = 1.

Вычислим значения:

• \sqrt{1^2 + 1} = \sqrt{2},
• t^2 + 1 = 2,
• t + \sqrt{t^2 + 1} = 1 + \sqrt{2},
• \sqrt{t^2 + 1} + t = \sqrt{2} + 1.

Подставляем:

\frac{dy}{dx} = \frac{(2)(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2} + 1}.

Сокращаем \sqrt{2} + 1:

\frac{dy}{dx} = 2.

Ответ:

\frac{dy}{dx} = 2.