Вычислить значение производной функции в точке

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (производные)

Дана функция:

y = 4 \sin^2 x.

Необходимо найти производную функции и вычислить её значение в точке x = \frac{\pi}{4}.

Шаг 1. Найдём производную функции

Используем правило дифференцирования сложной функции. Напомним, что \sin^2 x = (\sin x)^2. Тогда производная функции y будет:

 \frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 4 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 8 \sin x \cos x. 

Шаг 2. Упростим выражение

Используем тригонометрическую формулу двойного угла:
\sin(2x) = 2 \sin x \cos x.
Тогда:

 \frac{dy}{dx} = 8 \sin x \cos x = 4 \sin(2x). 

Шаг 3. Подставим значение x = \frac{\pi}{4}

В точке x = \frac{\pi}{4} имеем:

 \sin(2x) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1. 

Тогда:

 \frac{dy}{dx} = 4 \cdot \sin(2x) = 4 \cdot 1 = 4. 

Ответ:

4.