Вычислить вторую частную производную функции по переменной x

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Задание:
Вычислить вторую частную производную функции
z(x, y) = x^y
по переменной x, то есть найти
z''_{xx}.

Шаг 1: Первая производная по x

Функция задана как:
z(x, y) = x^y

Поскольку y — это переменная, а не константа, используем логарифмическую форму для дифференцирования степенной функции с переменной в показателе степени:

 z(x, y) = x^y = e^{y \ln x} 

Теперь найдём первую производную по x:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{y \ln x} \right) = e^{y \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(y \ln x) = e^{y \ln x} \cdot y \cdot \frac{1}{x} 

Учитывая, что e^{y \ln x} = x^y, получаем:

 \frac{\partial z}{\partial x} = y x^{y - 1} 

Шаг 2: Вторая производная по x

Теперь найдём вторую производную по x:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( y x^{y - 1} \right) 

Поскольку y считается постоянной при дифференцировании по x, то:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( x^{y - 1} \right) = y \cdot (y - 1) x^{y - 2} 

Ответ:

 z''_{xx} = y (y - 1) x^{y - 2}