Вычислить вдоль линии L, заданной уравнением у = x^3, где А(-2; -8), В(2; 8)

Данное задание относится к предмету "математический анализ", раздел "интегралы, параметры и кривые".

Необходимо вычислить интеграл вдоль заданной кривой \( y = x^3 \) от точки \( A(-2, -8) \) до точки \( B(2, 8) \).

Пошаговое решение

1. Определение уравнения кривой и его производных:
   Кривая \( L \) задана уравнением \( y = x^3 \). Следовательно: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 \] Таким образом, выражение для \( dy \): \[ dy = 3x^2 dx \]
2. Установление выражения для интеграла:
   \[ \int_A^B (7y^2 \, dx - 5x^2 \, dy) \] Для этого интеграла используем \( y = x^3 \) и \( dy = 3x^2 dx \): \[ 7y^2 \, dx = 7(x^3)^2 \, dx = 7x^6 \, dx \] \[ 5x^2 \, dy = 5x^2 (3x^2 dx) = 15x^4 \, dx \]
3. Интеграл в терминах x:
   Подставляем выражения в интеграл и приводим к одному интегралу по dx: \[ \int_{-2}^{2} (7x^6 - 15x^4) \, dx \]
4. Вычисление интеграла:
   Начнем с вычисления первообразной для каждой составляющей: \[ \int 7x^6 \, dx - \int 15x^4 \, dx = \frac{7x^7}{7} - \frac{15x^5}{5} \] \[ = x^7 - 3x^5 \]
5. Подставляем пределы интегрирования от -2 до 2:
   \[ \left[ x^7 - 3x^5 \right]_{-2}^{2} = \left[ 2^7 - 3 \cdot 2^5 \right] - \left[ (-2)^7 - 3 \cdot (-2)^5 \right] \] Вычисляем сначала для \( x = 2 \): \[ = 2^7 - 3 \cdot 2^5 = 128 - 96 = 32 \] Теперь для \( x = -2 \): \[ = (-2)^7 - 3 \cdot (-2)^5 = -128 + 96 = -32 \]
6. Итоговый результат:
   \( 32 - (-32) = 32 + 32 = 64 \)

Конечный результат вычисления интеграла: \( 64 \)

Ответ: \(64,0\).