Вычислить тройной интеграл по области g, ограниченной координатными плоскостями

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Многомерные интегралы". Решим тройной интеграл, подробно объясняя каждый шаг.

Шаг 1: Определение области интегрирования

Нам нужно рассмотреть область \( G \), ограниченную координатными плоскостями и плоскостью \( \frac{x}{3} - \frac{y}{5} - \frac{z}{7} = 1 \). Приведём уравнение плоскости к стандартному виду, более удобному для интегрирования: \[ x = 3 \left( \frac{y}{5} + \frac{z}{7} + 1 \right) \]

Шаг 2: Установление границ интегрирования

Область \( G \) ограничена координатными плоскостями \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \), и плоскостью \( \frac{x}{3} - \frac{y}{5} - \frac{z}{7} = 1 \). Соответственно: 1. \( 0 \leq x \leq 3 \left( \frac{y}{5} + \frac{z}{7} + 1 \right) \) 2. \( 0 \leq y \leq 5 \left( 1 - \frac{x}{3} + \frac{z}{7} \right) \) 3. \( 0 \leq z \leq 7 \left( 1 - \frac{x}{3} + \frac{y}{5} \right) \)

Шаг 3: Переписывание интеграла с границами интегрирования

Запишем тройной интеграл: \[ \iiint_G \frac{4 \, dx \, dy \, dz}{3y - 5x + 15} \] Примем пределы интегрирования: \[ z \in [0, 7 \left( 1 - \frac{x}{3} \right)] \] \[ y \in [0, 5 \left( 1 - \frac{x}{3} \right)] \] \[ x \in [0, 3] \]

Шаг 4: Переменная замена для упрощения

Рассмотрим замену переменных, чтобы упростить интегрирование: Пусть \( u = 3y - 5x + 15 \) тогда \( du \) будет зависеть от \( dx \) и \( dy \).

Шаг 5: Интегрирование

Интеграл можно решить пошагово: \begin{align*} &\iiint_G \frac{4}{3y - 5x + 15} \, dx \, dy \, dz \\ =& \int_{0}^{7} \int_{0}^{5(1 - \frac{z}{7})} \int_{0}^{3\left(\frac{y}{5} + \frac{z}{7} + 1\right)} \frac{4}{3y - 5x + 15} \, dx \, dy \, dz \\ \end{align*} Здесь нужно интегрировать от внутренней части к внешней, начнем с \( dx \). 1. Интегрируем по \( x \): \[ \int_{0}^{3\left(\frac{y}{5} + \frac{z}{7} + 1\right)} \frac{4}{3y - 5x + 15} \, dx \] Это интеграл по \( x \) является стандартным и решаемым через логарифм: \[ = \left[ -\frac{4}{5} \ln|3y - 5x + 15| \right]_{0}^{3\left(\frac{y}{5} + \frac{z}{7} + 1\right)} \] 2. Затем подставим пределы и решим по следующей переменной \( dy \). 3. Завершим интегрированием по \( dz \). Этот сложный тройной интеграл рекомендуется решать поэтапно, каждый раз прибегая к замене переменных для упрощения уравнений и применения стандартных аналитических методов. Таким образом, конкретное решение даст оценку этого интеграла, а вычисление логарифма и подстановка каждого уровня делают этот процесс поэтапный. Для точного вычисления рекомендуется использовать вычислительные инструменты типа Mathematica или MATLAB.