Вычислить тройной интеграл

Из данного изображения видно, что перед нами задачи по предмету "Математический анализ", а именно из разделов кратных интегралов, объема тела вращения и моментов инерции. Разберем два примера из этой контрольной работы:

1. Задание: "Вычислить тройной интеграл ∭ 2y * e^(2xy) dxdydz, если область V ограничена поверхностями x = 0, y = 1, z = 0, z = 1."

---

Решение: Это задача на вычисление тройного интеграла с учетом области. Тройной интеграл выглядит так: \[ \iiint_V 2y \cdot e^{2xy} \, dx \, dy \, dz \] Область \( V \) рассмотрена как прямоугольный параллелепипед с границами:

• \( x = 0 \) и \( x = 1 \);
• \( y = 1 \) и нет явного ограничения по другим поверхностям для \(y\), так что, скорее всего, подразумевается предел до 1;
• \( z = 0 \) и \( z = 1 \).

Запишем пределы интегрирования:

• по \(z: z \in [0, 1]\),
• по \(y: y \in [0, 1]\),
• по \(x: x \in [0, 1]\).

Теперь можно записать тройной интеграл с этими пределами: \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 2y \cdot e^{2xy} \, dx \, dy \, dz \]

Теперь вычислим этот тройной интеграл пошагово:

1. Интегрирование по \( x \): \[ \int_0^1 2y \cdot e^{2xy} \, dx \] Здесь нужно взять интеграл по \( x \). Так как \( y \) — константа, это обычный интеграл с показательной функцией \( e^{2xy} \). Этот интеграл решаем методом подстановки. Положим \( u = 2xy \), тогда \( du = 2y \cdot dx \).

   \[ \int e^{2xy} \, dx = \frac{e^{2xy}}{2x} + C \] В итоге: \[ \int_0^1 e(