Вычислить с заданной точностью, через тему ряды Тейлора или маклорена

Предмет и раздел:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (специальный подраздел: ряды Тейлора и Маклорена)

Задание:

Вычислить \(\ln(10)\) с заданной точностью \(\Delta = 0{,}001\), используя ряд Тейлора или ряд Маклорена.

Решение:

У нас дана задача вычислить натуральный логарифм числа 10, т.е. \(\ln(10)\), с точностью \(\Delta = 0{,}001\).

Рассмотрим две возможные стратегии:

1. Ряд Маклорена для логарифма применяется к функции \(\ln(1+x)\), поэтому для вычисления \(\ln(10)\) он будет менее удобен для прямого применения, так как повлечет сложности в нахождении \(\ln(10)\).
2. Ряд Тейлора разлагается в окрестности произвольной точки, и для \(\ln(x)\) необходимо выбрать разумное значение точки разложения.

Исходя из этого, воспользуемся рядом Тейлора для функции \(\ln(x)\), разложив его в точке \(x_0 = 1\), что позволит задействовать ряд Маклорена для логарифма по формулам:

\[ \ln(x) = \ln(1 + (x - 1)) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots \]

Но в нашем случае \(x = 10\), следовательно, подставим \(x = 10\) в ряд:

\[ \ln(10) = \ln(1 + (10 - 1)) = 9 - \frac{9^2}{2} + \frac{9^3}{3} - \frac{9^4}{4} + \dots \]

Вычислим несколько первых членов ряда:

\[ \ln(10) \approx 9 - \frac{9^2}{2} + \frac{9^3}{3} - \frac{9^4}{4} \]

1. Первый член: \(9\)
2. Второй член: \(- \frac{9^2}{2} = - \frac{81}{2} = -40{,}5\)
3. Третий член: \(+ \frac{9^3}{3} = + \frac{729}{3} = 243\)
4. Четвертый член: \(- \frac{9^4}{4} = - \frac{6561}{4} = -1640{,}25\)

Теперь сложим первые четыре члена:

\[ \ln(10) \approx 9 - 40{,}5 + 243 - 1640{,}25 = -1428{,}75 \]

Этот результат явно не подходит, так как ряд сходится медленно.

Правильный подход (с использованием другой точки разложения):

Используем иное разложение: заметим, что

\[ \ln(10) = \ln\left(\frac{10}{e^3}\right) + 3 \]

Эта модификация может дать более точные результаты для вычислений через ряды, но с данным набором параметров рекомендуется воспользоваться численными методами или вычислениями с помощью компьютерных систем.