Вычислить с заданной точностью, через тему ряды Тейлора или маклорена

Предмет и раздел:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (специальный подраздел: ряды Тейлора и Маклорена)

Задание:

Вычислить $\text{(}\ln (10)\text{)}$ с заданной точностью $\text{(}\mathrm{\Delta }=\mathrm{0,001}\text{)}$, используя ряд Тейлора или ряд Маклорена.

Решение:

У нас дана задача вычислить натуральный логарифм числа 10, т.е. $\text{(}\ln (10)\text{)}$, с точностью $\text{(}\mathrm{\Delta }=\mathrm{0,001}\text{)}$.

Рассмотрим две возможные стратегии:

1. Ряд Маклорена для логарифма применяется к функции $\text{(}\ln (1+x)\text{)}$, поэтому для вычисления $\text{(}\ln (10)\text{)}$ он будет менее удобен для прямого применения, так как повлечет сложности в нахождении $\text{(}\ln (10)\text{)}$.
2. Ряд Тейлора разлагается в окрестности произвольной точки, и для $\text{(}\ln (x)\text{)}$ необходимо выбрать разумное значение точки разложения.

Исходя из этого, воспользуемся рядом Тейлора для функции $\text{(}\ln (x)\text{)}$, разложив его в точке $\text{(}{x}_0=1\text{)}$, что позволит задействовать ряд Маклорена для логарифма по формулам:

$\text{[}\ln (x)=\ln (1+(x-1))=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}+\dots \text{]}$

Но в нашем случае $\text{(}x=10\text{)}$, следовательно, подставим $\text{(}x=10\text{)}$ в ряд:

$\text{[}\ln (10)=\ln (1+(10-1))=9-\frac{9^2}{2}+\frac{9^3}{3}-\frac{9^4}{4}+\dots \text{]}$

Вычислим несколько первых членов ряда:

$\text{[}\ln (10)\approx 9-\frac{9^2}{2}+\frac{9^3}{3}-\frac{9^4}{4}\text{]}$

1. Первый член: $\text{(}9\text{)}$
2. Второй член: $\text{(}-\frac{9^2}{2}=-\frac{81}{2}=-40,5\text{)}$
3. Третий член: $\text{(}+\frac{9^3}{3}=+\frac{729}{3}=243\text{)}$
4. Четвертый член: $\text{(}-\frac{9^4}{4}=-\frac{6561}{4}=-1640,25\text{)}$

Теперь сложим первые четыре члена:

$\text{[}\ln (10)\approx 9-40,5+243-1640,25=-1428,75\text{]}$

Этот результат явно не подходит, так как ряд сходится медленно.

Правильный подход (с использованием другой точки разложения):

Используем иное разложение: заметим, что

$\text{[}\ln (10)=\ln \left(\frac{10}{e^3}\right)+3\text{]}$

Эта модификация может дать более точные результаты для вычислений через ряды, но с данным набором параметров рекомендуется воспользоваться численными методами или вычислениями с помощью компьютерных систем.