Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить приближённое значение \(\sqrt[5]{250}\) с заданной точностью \(\Delta = 0,001\) через разложение в ряд Маклорена.
Заданную величину \(\sqrt[5]{250}\) можно представить через функцию:
\[ f(x) = (1 + x)^{1/5} \]
Для того чтобы использовать эту функцию, преобразуем число \(250\), выразив его в виде \(250 = 243 + 7\), где \(243 = 3^5\). Таким образом, \(\sqrt[5]{250} = (243 + 7)^{1/5}\). Запишем это как:
\[ \sqrt[5]{250} = 3 \cdot \left(1 + \frac{7}{243}\right)^{1/5} \]
Теперь нам нужно разложить функцию \( (1 + x)^{1/5} \) в ряд Маклорена.
Функция \((1 + x)^a\) разлагается в ряд Маклорена по следующей формуле:
\[ (1 + x)^a = 1 + a x + \frac{a(a - 1)}{2!}x^2 + \frac{a(a - 1)(a - 2)}{3!}x^3 + \dots \]
Здесь \(a = \frac{1}{5}\). Соответственно, получаем разложение для \( (1 + x)^{1/5} \):
\[ (1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{1}{5}x - \frac{4}{25\cdot2} x^2 + \frac{24}{125\cdot6} x^3 - \dots \]
Теперь подставим значение \(x = \frac{7}{243}\) в полученный ряд и вычислим приближение.
Разложение до квадратичного члена:
\[ (1 + \frac{7}{243})^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{243} - \frac{4}{25 \cdot 2} \cdot \left(\frac{7}{243}\right)^2 \]
Вычислим постепенно каждое слагаемое:
Теперь сложим все звенья ряда:
\[ (1 + \frac{7}{243})^{1/5} \approx 1 + 0,00576 - 0,0000664 = 1,0056936 \]
Теперь умножим результат на 3:
\[ \sqrt[5]{250} \approx 3 \cdot 1,0056936 = 3,0170808 \]
С учётом заданной точности \(\Delta = 0,001\), итоговый результат:
\[ \sqrt[5]{250} \approx 3,017 \]
\(\sqrt[5]{250} \approx 3,017\) с точностью до 0,001.