Вычислить с заданной точностью 0,001, через тему ряды Тейлора или маклорена

Задание относится к предмету математика, разделу математический анализ, тема ряды Тейлора и Маклорена. Нам дан интеграл: \[ I = \int_0^{0.8} x^{10} \cdot \sin(x) \, dx \]

Так как в интеграле стоит сложная функция \( x^{10} \cdot \sin(x) \), удобно использовать разложение тригонометрической функции \( \sin(x) \) в ряд Маклорена.

Шаг 1: Разложение синуса в ряд Маклорена

Ряд Маклорена для синуса имеет вид: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

Теперь подставим это разложение в исходный интеграл, чтобы интегрировать по частям: \[ I = \int_0^{0.8} x^{10} \cdot \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \right) \, dx \]

Шаг 2: Подстановка разложения

Подставляем первые несколько членов ряда: \[ I \approx \int_0^{0.8} x^{10} \cdot \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} \right) \, dx \]

Получаем: \[ I \approx \int_0^{0.8} \left( x^{11} - \frac{x^{13}}{6} + \frac{x^{15}}{120} - \frac{x^{17}}{5040} \right) \, dx \]

Шаг 3: Интегрирование каждого слагаемого

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

1. \(\int_0^{0.8} x^{11} \, dx = \frac{x^{12}}{12} \Big|_0^{0.8} = \frac{(0.8)^{12}}{12} \approx 0.006872\)
2. \(\int_0^{0.8} \frac{x^{13}}{6} \, dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{14}}{14} \Big|_0^{0.8} = \frac{(0.8)^{14}}{84} \approx 0.000166\)
3. \(\int_0^{0.8} \frac{x^{15}}{120} \, dx = \frac{1}{120} \cdot \frac{x^{16}}{16} \Big|_0^{0.8} = \frac{(0.8)^{16}}{1920} \approx 0.0000031\)
4. \(\int_0^{0.8} \frac{x^{17}}{5040} \, dx = \frac{1}{5040} \cdot \frac{x^{18}}{18} \Big|_0^{0.8} = \frac{(0.8)^{18}}{90720} \approx 0.000000049\)

Шаг 4: Суммирование

Теперь суммируем все значения: \[ I \approx 0.006872 - 0.000166 + 0.0000031 - 0.000000049 \]

\[ I \approx 0.006709 \]

Итак, приближенное значение интеграла с точностью до 0.001: \[ \boxed{I \approx 0.007} \]