Вычислить с помощью определенного интеграла длину отрезка прямой у = x/4 -3 , x€[2,4].

Определение предмета и раздела, к которому относится задание:

• Предмет: Математика
• Раздел предмета: Математический анализ, особенно работа с определенными интегралами и вычисление длины кривой.

Теперь давайте решим задание пошагово.

1. Определение общей формулы для длины кривой: Формула для длины отрезка графика функции \(y = f(x)\) на интервале \([a, b]\) в декартовых координатах имеет вид: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] В нашем случае \( y = \frac{x}{4} - 3 \).
2. Найдем производную \(\frac{dy}{dx}\): \[ y = \frac{x}{4} - 3 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \]
3. Подставим производную в формулу для длины кривой: \[ L = \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} \, dx \]
4. Упрощаем выражение под корнем: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] \[ 1 + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} + \frac{1}{16} = \frac{17}{16} \] Таким образом, наша формула теперь выглядит так: \[ L = \int_{2}^{4} \sqrt{\frac{17}{16}} \, dx \]
5. Вынесем константу из-под интеграла: \[ \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4} \] \[ L = \frac{\sqrt{17}}{4} \int_{2}^{4} \, dx \]
6. Вычислим интеграл: \[ \int_{2}^{4} \, dx = [x]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2 \]
7. Окончательное вычисление: \[ L = \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{17}}{4} = \frac{\sqrt{17}}{2} \] Ответ: Длина отрезка прямой \( y = \frac{x}{4} - 3 \) на интервале \( x \in [2, 4] \) \[ L = \frac{\sqrt{17}}{2} \] Эти вычисления показывают, что длина искомого отрезка прямой равна \( \frac{\sqrt{17}}{2} \).

Надеюсь, это было понятно и полезно! Удачи с вашим обучением.