Вычислить производные функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференцирование функций

Найти производную функции:

y = \sqrt{x} \cdot \sin x

Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

Если y = u(x) \cdot v(x), то
y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

В нашем случае:

• u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}
• v(x) = \sin x

Найдём производные каждого множителя:

1. u'(x) = \frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
2. v'(x) = \frac{d}{dx}\sin x = \cos x

Теперь подставим в формулу производной произведения:

 y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x 

Ответ:

 y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x