Вычислить производную.

Пример 1:

Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

y = ln(1-x²)

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти первую производную заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти производную y'_x функции:
y =sin³(2x-1) ln(x ³-3x) +7

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

(1 – 2x)y³+y= 1

Решение от преподавателя:

F =

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%7d%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%7d$
Для нашей функции:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-2\cdot%20y%5e%7b3%7d$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%20=%203\cdot%20y%5e%7b2%7d(-2\cdot%20x%2B1)%2B1$
Тогда:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b-2\cdot%20y%5e%7b3%7d%7d%7b3\cdot%20y%5e%7b2%7d(-2\cdot%20x%2B1)%2B1%7d$
или
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-2\cdot%20\frac%7by%5e%7b3%7d%7d%7b3\cdot%20y%5e%7b2%7d(2\cdot%20x-1)-1%7d$

Пример 10:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти производную y'_x функции:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

= = =

Производную этого выражения находим по формуле: (xⁿ)' = n*x^n-1
(2x²)' = 2*2x^2-1(x)' = 4x
(x)' = 1
Ответ:

Пример 14:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти производную y'_xпараметрически заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

= =

Ответ:

Пример 18:

Найти производные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить производную , параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти производную параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить производную и вторую производную:

Решение от преподавателя:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(5*\frac%7bx%5e%7b3%7d%7d%7b3%7d-1%2B\frac%7b6%7d%7bx%7d)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20(\frac%7b6%7d%7bx%7d)%5e%7b\prime%20%7d%20%2B%20(5*\frac%7bx%5e%7b3%7d%7d%7b3%7d)%5e%7b\prime%20%7d%20%2B%20(-1)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20(-\frac%7b6%7d%7bx%5e%7b2%7d%7d)%20%2B%205*x%5e%7b2%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%205*x%5e%7b2%7d-\frac%7b6%7d%7bx%5e%7b2%7d%7d$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(\frac%7b6%7d%7bx%7d)%5e%7b\prime%20%7d%20=%206(x%5e%7b-1%7d)%5e%7b\prime%20%7d%20=%206(-1)\cdot%20x%5e%7b-1-1%7d%20=%20\frac%7b-6%7d%7bx%5e%7b2%7d%7d$

y’’=12/x³

Пример 34:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Вычислить f'(2), если .

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=((-arctg(8*x)%2B1)*e%5e%7b\sqrt%7bx%7d%7d)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20(-arctg(8*x)%2B1)%5e%7b\prime%20%7d*e%5e%7b\sqrt%7bx%7d%7d%2B(-arctg(8*x)%2B1)(e%5e%7b\sqrt%7bx%7d%7d)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20(-\frac%7b8%7d%7b64*x%5e%7b2%7d%2B1%7d)*e%5e%7b\sqrt%7bx%7d%7d%2B(-arctg(8*x)%2B1)*\frac%7be%5e%7b\sqrt%7bx%7d%7d%7d%7b2%20\sqrt%7bx%7d%7d$

Пример 38:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(x%5e%7b2%7d%2Bx*arcsin(x)%2B\sqrt%7b1-x%5e%7b2%7d%7d)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5e%7b\prime%20%7d$ + $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(\sqrt%7b1-x%5e%7b2%7d%7d)$ $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5e%7b\prime%20%7d$ + $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5e%7b\prime%20%7d$ = 2*x + $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(-\frac%7bx%7d%7b\sqrt%7b1-x%5e%7b2%7d%7d%7d)$ + $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(\frac%7bx%7d%7b\sqrt%7b1-x%5e%7b2%7d%7d%7d%2Barcsin(x))$ =

Пример 39:

Вычислить y'(x), если

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=(\frac%7b4-5*x%7d%7b%7bcos(3*x)%7d%5e%7b2%7d%7d)%5e%7b\prime%20%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20\frac%7b(4-5*x)%5e%7b\prime%20%7d*cos(3*x)%5e%7b2%7d-(4-5*x)(cos(3*x)%5e%7b2%7d)%5e%7b\prime%20%7d%7d%7b(cos(3*x)%5e%7b2%7d)%5e%7b2%7d%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20\frac%7b(-5)*cos(3*x)%5e%7b2%7d-(4-5*x)(-6*sin(3*x)*cos(3*x))%7d%7b(cos(3*x)%5e%7b2%7d)%5e%7b2%7d%7d$ = $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b6(4-5\cdot%20x)\cdot%20sin(3\cdot%20x)%7d%7b%7bcos(3\cdot%20x)%7d%5e%7b3%7d%7d-\frac%7b5%7d%7bcos(3\cdot%20x)%5e%7b2%7d%7d$

Пример 42:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%7d%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%7d$
Для нашей функции:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-y\cdot%20sin(x\cdot%20y)-2$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%20=%20-x\cdot%20sin(x\cdot%20y)$
Тогда:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b-y\cdot%20sin(x\cdot%20y)-2%7d%7b-x\cdot%20sin(x\cdot%20y)%7d$
или
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-\frac%7by%2B\frac%7b2%7d%7bsin(x\cdot%20y)%7d%7d%7bx%7d$

Пример 43:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%7d%7b\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%7d$
Для нашей функции:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-y\cdot%20sin(x\cdot%20y)-2$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20F(x,y)%7d%7b%20\partial%20y%7d%20=%20-x\cdot%20sin(x\cdot%20y)$
Тогда:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-%20\frac%7b-y\cdot%20sin(x\cdot%20y)-2%7d%7b-x\cdot%20sin(x\cdot%20y)%7d$
или
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20y%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-\frac%7b1%7d%7bx%7d(y%2B\frac%7b2%7d%7bsin(x\cdot%20y)%7d)$

Пример 47:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 48:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 52:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 53:

Найти производную y'(x) функции:

Решение от преподавателя:

Пример 54:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 55:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 56:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 57:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 58:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 59:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 60:

Найти производную сложной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 61:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 62:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 63:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 64:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 65:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 66:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 67:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 68:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 69:

Для заданных функции найти первую производную y′

Решение от преподавателя:

Пример 70:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 71:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 72:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 73:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 74:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 75:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

Отдельно находим производные x_t' и y_t'

Следовательно:

или

Пример 76:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 77:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 78:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 79:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Прологарифмируем обе части:

Тогда:

Находя производную, получаем:

Поскольку:

(x*sin(x))' = (x)'sin(x)+x(sin(x))' = sin(x)+x*cos(x)
(sin(x))' = cos(x)
Ответ: