Вычислить пределы функций,не пользуюясь правилом Лопиталя

Предмет: математический анализ

Раздел: пределы функций

Задание: Вычислить пределы функций без использования правила Лопиталя.

Попробуем разобрать, как найти пределы для нескольких вариантов функций:

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)

Решение:

Этот предел — один из стандартных пределов в математическом анализе. Давайте найдем его шаг за шагом.

• Заметим, что если \(x\) стремится к 0, то и числитель \(\sin(x)\), и знаменатель \(x\) стремятся к 0. То есть, у нас неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), и нужно её устранить. Чтобы это сделать, мы можем прибегнуть к использованию геометрической интерпретации данного предела или воспользоваться разложением синуса в ряд Тейлора.

Шаг 1: Попробуем использовать разложение \(\sin(x)\) в ряд Тейлора.

Разложение \(\sin(x)\) вблизи нуля выглядит так:

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

Для малых \(x\), члены с \(x^3\) и выше можно отбросить, так как они дают очень малый вклад. Таким образом, \(\sin(x) \approx x\) при \(x \to 0\).

Шаг 2: Подставим приближенное значение \(\sin(x)\) в предел.

Итак, имеем:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x}. \]

Ясно, что:

\[ \frac{x}{x} = 1 \] при \(x \neq 0\).

Таким образом:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]

Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1.\)

2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - x + 4}\)

Решение:

Здесь для вычисления предела нужно учесть, что \(x \to \infty\), а значит стоит разобраться, как ведут себя многочлены в числителе и знаменателе для больших значений \(x\).

Шаг 1: Внимательно посмотрим на степень многочленов.

• В числителе: \(2x^2 + 3x + 1\)
• В знаменателе: \(x^2 - x + 4\)

Обе функции представляют собой многочлены, где наибольшая степень переменной \(x\) равна двум. Важно ориентироваться на члены с наибольшей степенью, потому что для больших значений \(x\) они оказывают решающее влияние на поведение функции.

Шаг 2: Упростим функцию, поделив на \(x^2\) все термины.

\[ \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - x + 4} = \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}. \]

Шаг 3: Найдём предел при \(x \to \infty\).

Когда \(x\) стремится к бесконечности, дроби вида \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\) стремятся к нулю. Таким образом, в числителе останется \(2\), а в знаменателе — \1\).

Получаем:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - x + 4} = \frac{2}{1} = 2. \]

Ответ: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - x + 4} = 2.\)

Если у тебя есть ещё примеры пределов, я готов помочь их разобрать!